Кортеж. Длина кортежа

В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367 – это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» – это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежамии различают по длине. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) – это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще n множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств А₁, А₂, …, А_n называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А_1, вторая – множеству А₂, …, n – я – множеству А_n.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Цель. Уметь решать практические задачи на понятие декартова произведения и его свойств.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Декартово произведение множеств.

2. Свойства операции декартова произведения.

3. Кортеж. Длина кортежа.

Основные понятия

Ø декартово произведение множеств;

Ø кортеж; длина кортежа.

Обозначения

А ´ В = {(х, у) | х Î А и х Î В} - запись определения декартова произведения множеств А и В.

Ø Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание, декартово произведение.

Ø Свойства этих операций:

· дистрибутивность декартова произведения относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства: (AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С), (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С).

Правила

Ø Нахождения числа элементов в декартовом произведении конечных множеств: n (А ´ В) = n (А) × n (В).

Практическая часть

Обязательные задания

1. Элементами множеств А и В являются пары чисел: А = {(1,12), (2, 9), (3,6), (4, 3), (5, 0)}, В = {(1,9), (2,7),(3,6), (4,7), (5,0)}. Найдите пересечение и объединение данных множеств.

2. Запишите различные двузначные числа, используя цифры 3, 4 и 5. Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3? Как связано решение данной задачи с понятием декартова произведения множеств?

3. Перечислите элементы декартова произведения A ´ В, если: а) А = {a,b,c, d}, B = { b, k, l}; б) А = В = {a, b, c}; в) А = {a, b, c}, В = Æ.

4. Даны множества А = {1, 3, 5} и В = {2, 4}. Перечислите элементы множеств A ´ В и В ´ А. Верно ли, что: а) Множества A ´ В и В ´ А содержат одинаковое число элементов; б) Множества A ´ В и В ´ А равны?

5. Проверьте справедливость равенства (AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С) для множеств А = {3, 5, 7}, В = {7, 9}, С = {0, 1}. Выполняется ли для них равенство (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С) ?

6. Сколько букв в слове «барабан»? Сколько различных букв в этом слове? Сформулируйте эту задачу, используя понятия множества и кортежа.

7. Чем отличается множество цифр в записи числа 56576 от кортежа цифр в его записи?

8. Изобразите в прямоугольной системе координат множество A ´ В, если: а) А = [-2; 2]. В = {2, 3, 4}; б) А = [-2; 2]. В = (2, 4); в) А = R, В = [2; 4].

Творческие задания

1. Изобразите на декартовой плоскости множество [0;1) ´ (0,1); {0;1}´[0;1); [ 0; 1) ´ R; N ´ R; N ´ {1;2};{1;2} ´ N; {5;6;9}´ R.

2. В звене 7 мальчиков и 6 девочек. Сколькими способами можно выбрать пару учеников, состоящую из мальчика и девочки, для дежурства по классу?

3. В каких случаях А´В = В´А?

4. Составьте таблицу результатов однокругового шахматного турнира трех: Иванова, Петрова, Сидорова (результаты возьмите произвольно).

5. Фабрика верхнего трикотажа изготовляет мужские пуловеры, женские костюмы, кофты и платья следующих расцветок: бордовая, синяя, голубая, зеленая, коричневая, серая. Составьте таблицу, иллюстрирующую декартово произведение множества изделий и множества цветов, и заполните ее.

6. Решите следующие задачи, построив дерево возможных вариантов: а) У продавца имеется три варианта мороженного: клубничное, сливочное и ореховое. Наташа и Катя решили купить по одной порции. Сколько существует вариантов такой покупки? б) Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?