Что касается объединения и вычитания множеств, то их считают равноправными.

Замечание. Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:

(А \ В) \С= (А \ С) \ В (А \ В) Ç С= (А Ç С) \ ( В Ç С )

А \ (В È С ) = (А \ В) Ç ( А \ С) А \ (В Ç С) = (А \ В) È ( А \ С)

(А È В) \С = (А \ С) È(В \ С)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Цель. Уточнить смысл основных понятий: пересечение множеств, объединение множеств, вычитание множеств, дополнение подмножеств. Уметь решать практические задания, связанные с этими понятиями и операциями над ними. Раскрыть связь новых понятий и операций с начальным курсом математики.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Пересечение множеств.

2. Объединение множеств.

3. Законы пересечения и объединения множеств.

4. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.

Основные понятия

Ø пересечение множеств;

Ø объединение множеств;

Ø вычитание множеств;

Ø дополнение подмножества.

Обозначения

A Ç B = {х | х ÎА и х Î В} - запись определения пересечения множеств А и В;

А È В = {х | х ÎА или х Î В} - запись определения объединения множеств А и В;

А \ В ={ х| х Î A и х Ï B} – запись определения разности множеств А и В;

В_А ={ х| х Î A и х Ï B} – определение дополнения множества В до множества А.

Ø Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание.

Ø Свойства этих операций:

· коммутативность пересечения и объединения - для любых множеств А и В справедливо равенство: А Ç B = B Ç A и A È B = B È A;

· ассоциативность пересечения и объединения множеств - для любых множеств А, В и С выполняются равенства: ( А Ç B ) Ç С = A Ç ( В Ç С), ( A È B ) È С = A È ( B È С).

· дистрибутивность пересечения относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А È B ) Ç С = (А Ç С) È ( ВÇ С ).

· дистрибутивность объединения относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А Ç B ) È С = (А È С) Ç ( В È С ).

Практическая часть

Обязательные задания

1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания: 1) 5 Î А Ç В; 2) 7Î А Ç В.

2. Известно, что х Î А. Следует ли из этого, что х Î А ÇВ?

3. Известно, что х Î А ÇВ. Следует ли из этого, что х Î А?

4. Изобразите при помощи кругов Эйлера пересечение множеств А и В, если: 1) А Ì В; 2) В Ì А; 3) А Ç В = Æ.

5. Найдите пересечение множеств А и В, если: 1) А = {a, b, c, d, e, f}; B = {b, e, f, k, l}; 2) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}; В = {17, 26, 58}; 3) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}; В = {2, 6, 3, 9, 1, 7}.

6. М – множество однозначных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит пересечение данных множеств? Содержатся ли в нем числа – 7 и 9?

7. А – множество точек окружности, B – множество точек прямой а. Из скольких элементов может состоять пересечение данных множеств? Может ли оно быть пустым?

8. Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением: а) был треугольник; б) был отрезок; в) была точка.

9. Используя координатную прямую, найдите пересечение множеств решений неравенств, в которых переменная х – действительное число: 1) х >-2 и х > 0; 2) х >- 3,7 и х £ 4; 3) х ³ 5 и х <- 7,5; 4) – 2< х< 4 и х ³ -1; 5) –7£х £ 5 и - 6 £ х £2.

10. Начертите две фигуры, принадлежащие пересечению множеств С и D, если: а) С – множество ромбов, D – множество прямоугольников; б) С - множество равнобедренных треугольников, D – множество прямоугольных треугольников.

11. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания: 1) 5ÎAÈB; 2) 7Î А È В.

12. Известно, что х Î А. Следует ли из этого, что х Î А È В?

13. Известно, что х Î А ÈВ. Следует ли из этого, что х Î А?

14. Изобразите при помощи кругов Эйлера объединение множеств А и В, если: 1) А Ì B; 2) B Ì A.

15. Найдите объединение множеств А и В, если: 1) А = {a, b, c, d, e, f}; B = {b, e, f, k, l}; 2) А = {26,39,5,58,17,81}; B = {17,26,58}; 3) А = {26,39,5,58,17,81}; B = {2,6,3,9,1,7}.

16. М – множество однозначных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит объединение данных множеств? Содержатся ли в нем числа – 7 и 9?

17. Используя координатную прямую, найдите объединение множеств решений неравенств, в которых переменная х – действительное число: 1) х >-2 и х > 0; 2) х > - 3,7 и х £ 4; 3) х ³ 5 и х < - 7,5; 4) – 2 < х < 4 и х ³ - 1; 5) – 7 £ х £ 5 и - 6 £ х £ 2.

18. Известно, что х Î А ÇВ. Следует ли из этого, что а) х Î В Ç А; б) х Î А È В; в) х Î В È А ?

19. Принадлежит ли элемент х объединению множеств A, B и С, если: 1) хÎA; 2) х ÎА и х ÎB; 3) х ÎА, х ÎВ и х ÎС; 4) х ÏA, но х ÎС; 5) х ÏA, но х ÎС и х ÎB?

20. Определите порядок выполнения действий в следующих выражениях: а) А È В È С; б) А Ç В È С Ç D; в) А Ç В Ç С; г) А È В Ç С È D.

21. Постройте три круга, представляющие попарно пересекающиеся множества А, В и С, и отметьте штриховкой области, изображающие множества: а) А Ç В Ç С; б) (А Ç В) È С; в) А Ç В È С; г) А È В È С; д) (А È В) Ç С; е) (А È С) Ç (В È С). Для каждого случая сделайте отдельный рисунок.

22. Х – множество двузначных чисел, Y - множество четных чисел, Р- множество чисел, кратных 4. Каковы характеристические свойства элементов множеств А = C ÇUÇR и B = (CÈU)ÇR? Изобразите множества C, U, R, А и В при помощи кругов Эйлера. Назовите три числа, принадлежащие множеству А, и три числа, принадлежащие множеству В.

23. А – множество ромбов, В – множество треугольников, С – множество многоугольников, содержащих угол 60°. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству Х = AÇСÈBÇС.

24. Проиллюстрируйте, используя круги Эйлера, следующие свойства: а) ассоциативности пересечения множеств; б) дистрибутивности пересечения относительно объединения множеств; в) дистрибутивности объединения относительно пересечения множеств.

25. Среди следующих выражений найдите такие, которые представляют собой равные множества: а) Р Ç М Ç К; б) Р Ç (М È К); в) Р Ç М È Р Ç К; г) (Р È М) È К; д) Р È (М Ç К); е) (М È Р ) Ç (Р È К).

26. Найдите разность множеств А и В, если: а) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = { 2, 4, 6, 8, 10}; б) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = Æ; в) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; г) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {6, 2, 3, 4, 5, 1}.

27. В какие случаях, выполняя предыдущее упражнение, вы находите дополнение множества В до множества А?

28. Найдите дополнение множества С до множества D, если: 1) С = {а, б, в, г, д, е}; D = {а, б, в, г, д, е, ж, и}; 2) С = {41, 42}; D = {40, 41, 42, 43, 44}; 3). С = {9, 10, 11, 12}; D = {11, 9, 12, 10}.

29. Даны множества: А – натуральных чисел, кратных 3, В – натуральных чисел, кратных 9. а) Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества В’_А ; б) Верно ли, что 123 Î В’_А, а 333 Ï В’_А ?

30. Проиллюстрируйте при помощи кругов Эйлера, что для любых множеств А, В и С верны равенства: а) А \ (В È С) = (А \ В) Ç (А \ С); б) А \ (В Ç С) = (А \ В) È (А \ С); в) (А È В) \ С= (А \ С) È (В \ С); г) (А \ В) Ç С = (А Ç С) \ (В Ç С).

31. Х – множество равнобедренных треугольников, У – множество равносторонних треугольников. Начертите два треугольника, принадлежащие множеству Х \ У.

32. Из каких чисел состоит дополнение: 1) множества натуральных до множества целых; 2) множества целых чисел до множества рациональных; 3) множества рациональных чисел до множества действительных?

Творческие задания

1. Сформулировать определение пересечения трех множеств и любого конечного числа множеств.

2. Переформулируйте утверждение хÏAÇB в терминах принадлежности А и В.

3. Найти пересечение множеств А, В, С, если А=В, ВÌС

4. Расположите на плоскости два треугольника так, чтобы в пересечении получился: а) треугольник, б) четырехугольник, в) шестиугольник; г) пятиугольник.

5.Докажите справедливость свойств АÈ(BÇA)=А, АÇ(BÈA)=А

6.О какой операции и над какими множествами идет речь в следующих задачах: а) У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товарищу. Сколько книг осталось у Коли? б) В зале было 100 стульев. После того как вынесли несколько стульев, в зале осталось 86 стульев. Сколько стульев вынесли из зала?

7.В классе 36 учеников. Известно, что мальчиков – 21 человек, занимающихся в кружках – 20 человек, хорошистов – 22 человека, причем каждый ученик в классе входит в какую-либо из перечисленных групп. Мальчиков и занимающихся в кружках – 11 человек, занимающихся в кружках и хорошистов – 13 человек. Сколько мальчиков в классе занимаются в кружках и учатся без троек?

ТЕМА 2.1. ПОНЯТИЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ