Законы пересечения и объединения множеств

2. Сочетательный (ассоциативный) закон пересечения и объединения множеств.

Определение. Для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

C

B

A

Рис. 3

( А Ç B ) Ç С = A Ç ( ВÇ С), ( A È B ) È С = A È ( B È С).

Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде всего можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов. (См. рис.3)

3. Закон пересечения множеств: ( А Ç B ) Ç С = A Ç ( ВÇ С)

В выражении ( А Ç B ) Ç С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В – оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество ( А Ç B ) Ç С.

B

C

A

Представим теперь наглядно множество A Ç ( В Ç С).(См. рис.4) В соответствии с указанным порядком действий сначала надо найти пересечение множеств В и С – на рисунке оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество A Ç ( ВÇ С). Видим, что области, представляющие на рисунке множества ( А Ç B ) Ç СиA Ç ( В Ç С ), одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств. Рис. 4.

Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.

Замечание. Важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств состоит в следующем:

1) можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делается для двух;

2) на основании этого свойства в выражениях ( А Ç B ) Ç С, A Ç ( ВÇ С),( A È B ) È С , A È ( B È С) можно опускать скобки и писать А Ç B Ç С или A È B È С, что облегчает запись.

Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А, В и С справедливо равенство ( A È B ) È С = A È ( B È С).