Законы пересечения и объединения множеств
1. Переместительный (коммутативный) закон пересечения и объединения множеств.
Из определений пересечения и объединения множеств вытекает:
Определение. Для любых множеств А и В справедливо равенство: АÇ B = B Ç A и A È B = B È A.
2. Сочетательный (ассоциативный) закон пересечения и объединения множеств.
Определение. Для любых множеств А, В и С выполняются равенства:
C
B
A
( А Ç B ) Ç С = A Ç ( ВÇ С), ( A È B ) È С = A È ( B È С). Рис. 3
Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде всего можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов. (См. рис.3)
3. Закон пересечения множеств: ( А Ç B ) Ç С = A Ç ( ВÇ С)
В выражении ( А Ç B ) Ç С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В – оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество ( А Ç B ) Ç С.
B |
C |
A |
Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.
Замечание. Важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств состоит в следующем:
1) можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делается для двух;
2) на основании этого свойства в выражениях ( А Ç B ) Ç С, A Ç ( ВÇ С),( A È B ) È С , A È ( B È С) можно опускать скобки и писать А Ç B Ç С или A È B È С, что облегчает запись.
Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А, В и С справедливо равенство ( A È B ) È С = A È ( B È С).
Доказательство. Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедится в том, что каждый элемент множества ( A È B ) È С содержится в множестве A È ( B È С), и наоборот.
1. Пусть х – любой элемент множества ( A È B ) È С. Тогда, по определению объединения, х Î A È B или хÎС.
Если х Î A È B, то, по определению объединения, х Î А или х Î В. В том случае, когда х ÎА, то, также по определению объединения, х Î A È ( B È С).
Если х Î В, то имеем, что х Î B È С, а значит, х Î A È ( B È С). Случай, когда х Î А и х Î В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х Î A È B, следует, что х Î A È ( B È С).
Если х Î С, то, по определению объединения, х Î В È С, и следовательно, х Î A È ( B È С).
Случай, когда х Î A È B и х Î С, сводится к рассмотренным выше.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества ( A È B ) È С содержится и в множестве A È ( B È С), т.е. ( A È B ) È С Ì A È ( B È С).
2. Пусть у - любой элемент множества A È ( B È С). Тогда, по определению объединения, уÎА или уÎ B È С.
Если у Î А, то, по определению объединения, у ÎA È ( B È С).
Если у Î B È С, то у Î B или уÎ С. В том случае, когда у Î B, то уÎ AÈB и, значит, уÎ ( A È B ) È С. Когда же у Î С, то у Î ( A È B ) È С. Случай, когда у Î В и у Î С, сводится к уже рассмотренным.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества A È (B È С) содержится и в множестве (A È B) È С, т.е. A È (B È С) Ì (A È B) È С.
Согласно определению равных множеств заключаем, что ( A È B ) È С = A È ( B È С), что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.
Замечание. Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:
1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А È B ) Ç С = (А Ç С) È ( ВÇ С).
2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А Ç B ) È С = (А È С) Ç ( В È С ).
Замечание. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.
Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 955;