Отношения между множествами. Подмножество

Даны два множества:

А = {a, b, c, d, e} и B = {b, d, k, e}. Видим, что элементы b и d принадлежат одновременно множеству А и множеству В. Говорят, что b и d – общие элементы множеств А и В, а сами множества пересекаются.

Замечание. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.

Рассмотрим теперь множества А = {a, b, c, d, e} и В = {c, d, e}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включено в А или что множество В является подмножеством множества А.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.

Если В – подмножество множества А, то пишут: В Ì А – и читают: «В – подмножество А», «В – включается в А».

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, т. е. Æ Ì А, и что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. А Ì А. Поэтому среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.

Примеры

Выпишем все подмножества множества А = {2, 3, 4}.

Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}, а также само множество А = {2, 3, 4} и Æ. Таким образом, данное множество А имеет 8 подмножеств.

Обратимся теперь к множествам А = {a, b, c, d, e} и В = {c, a, b, e, d}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А Ì В, и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В Ì А. В этом случае говорят, что множества А и В равны.

Определение. Множества А и В называются равными, если АÌ В и В Ì А.

Круги Эйлера-Венна

А

В

Рис. 1

Из определения вытекает, что равные множества и отношения с множествами удобно иллюстрировать при помощи графических схем, в которых множества представляются в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур и предполагается, что в этих геометрических фигурах заключены все элементы данного множества. Такие геометрические фигуры называются кругами Эйлера, по имени немецкого математика Леонарда Эйлера, который в 1762 году приспособил эту геометрическую фигуру для логических целей.

Рис. 2

В

А

Например, отношение включения между множествами А = {a, b, c, d, e} и В = {c, e, d} можно изобразить при помощи кругов Эйлера так как на рисунке 1.

Рис. 3

А

В

Множества А = {a, b, c, d, e} и B = {b, d, k, e} Пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого, поэтому при помощи кругов Эйлера они изображаются так как на рисунке 2.

Непересекающиеся множества изображают при помощи двух кругов, не имеющих общих точек (Рис. 3).

Установить отношения между множествами – важное умение для учителя. Дело в том, что математика и другие науки изучают не только определенные объекты и явления, но и взаимосвязи, в том числе и отношения между множествами.

Рис. 5

А=В

В

А

Рис. 4

Выясним, например, как связаны между собой множества А четных чисел и множество В чисел, кратных 4. В каком из случаев, представленных на рисунках, отношения между данными множествами изображены верно?

Рис. 6

А

В

Из рисунка 4 следует, что все четные числа делятся на 4, что не верно: можно назвать числа, которые не делятся на 4, например 14. Этот контрпример сразу делает невозможным равенство данных множеств, т.е. случай представленный на следующем рисунке 5.

Следующий рисунок 6 говорит о том, что среди чисел, кратных 4, есть четные, но есть и такие, которые не делятся на 2, что не верно: нетрудно доказать, что любое число, кратное 4, четно.

Следовательно, множество чисел, кратных 4, является подмножеством множества четных чисел. Эта связь изображена на последнем рисунке.

А

В

Рис. 7

Так же как и понятие множества, понятие подмножества в начальной школе в явном виде не изучается, но задач, связанных с выделением части некоторой совокупности, учащиеся решают много.

Например

«Среди данных четырехугольников укажи прямоугольники».

«Назови среди данных чисел четные» и т. д.