Сходящихся сил методом проекций

Проекцией вектора на ось называется длина направленного отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора . Договоримся обозначать буквой О начало отсчета значений величин по оси, а буквами х, у, z—наименования осей; положительный отсчет вести по направлению от О к х (к у или к z), а отрицательный отсчет — в противоположную сто­рону. Пусть заданы сила и ось Ох (рис. 6, а). Проекция силы на ось Ох выражена длиной отрезка ab, где, как видно из рисунка, а—проекция точки А начала вектора = АВ и b—проекция точки В - конца вектора - на ось. Отсчет длины проекции (от а к b) в данном случае совпадает с положительным направле­нием оси, значит, проекция ab положительна.

Проекцию силы на ось условимся обозначать той же буквой P с добавлением индекса, обозначаю­щего наименование оси, на которую сила проецирует­ся, т. е. проекцию силы на ось х обозначим P_x . Если обозначение силы имеет какой-нибудь индекс, то и у обозначения проекции этот индекс сохраняется; например, проекции силы или обозначаются соответственно P_1x или P_2x.

Из рис. 6, а видно, что P_x = ab, но ab = AC, a из ∆ АСВ следует, что AC = Pcosa. Таким образом,

P_x = Pcosα,

т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля этой силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Выражение проекции силы через ее модуль является общим для какого угодно расположения силы относительно оси. Например, сила образует (рис. 6, б) с положительным направлением оси угол α , который π/2< α <π. Следовательно,

P_1x = P₁ cosα = P₁ cos(π - β ) = - P₁ cos β.

Итак, проекция P_1x отрицательна, если отсчет длины проекции от точки а₁ к точке b₁ противополо­жен положительному направлению оси. Если α = 0 (рис. 6, в), т. е. сила параллельна оси и направлена в сторону положительного отсчета оси, то cos 0 =1 и поэтому P_2x = P₂cos 0 = P₂, если угол α = π, т. е. сила параллельна оси, но направлена противоположно положительному отсчету оси, то cos π = - 1 и P_3x = P₃ cos π = —P₃; если угол α = π /2, т. е. сила перпендикулярна оси, то cos (π /2) = 0 и P_4x = = P₄cos(π /2) = 0.

Рис. 6. Проекции вектора силы на ось.

При решении задач, в которых фигурирует плос­кая система сходящихся сил, как правило, необ­ходимо определять проекции сил на две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу. Все сказанное о проекциях на ось Ох справедливо и для проекций сил на ось Оу.

Так, если сила (рис. 7) образует с положи­тельным направлением

осей х и у соответственно углы α _x = ( , x) и α _у = ( , у), то

P_kx = P_kcоs α_х и P_kу = P_kcos α_y; но α_y=( 90^˚- α _x), тогда P_kу=P_ksin α _x.

По заданным проекциям силы на оси может быть определен и сам вектор силы (ее модуль и на­правление).

Допустим, проекции P_kx и P_ky силы известны, тогда из ∆ АСВ (рис. 7) видно, что модуль силы P_k = .

Рассмотрим теперь определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проек­ций. Допустим, что для заданной системы сходящихся сил построен многоугольник ABCDE, в котором вектор = — искомая равнодействующая данной системы (рис. 8). Выбрав систему координатных осей х и у в плоскости силового многоугольника, спроецируем его на эти оси.

Проекции сил на ось х:

P_1x = а₁b₁ , P_2x = b₁c_l , P_3x = c₁d₁ и P_4x = d₁e₁ .

Проекции сил на ось у:

P_1y = a₂b₂ , P_2y = b₂c₂ , P_3y = c₂d₂ и P_4y = d₂e₂ .

Для наглядности проекции на рис. 8 показаны рядом с осями, несколько смещенными относительно них, причем положительные проекции вынесены выше (проекции на ось х ) или правее (проекции на ось у ), а отрица­тельные соответственно ниже или левее.

Одновременно с проецированием сторон силового многоугольника, равных заданным силам, получены и проекции равнодействующей:

Из рис.8 видно, что

Р = а₁е₁ = — a₁b₁ + b₁c_l + c_l d_l — d₁e₁; Р = а₂е₂ = a₂b₂ + b₂c₂ - c₂ d₂ — d₂e₂.

Выше было показано, что система сходящихся сил уравновешена тогда, когда ее равнодействующая =0. Очевиден факт, что в этом случае равны нулю ее проекции на координатные оси х и у , т.е. условие равновесия может быть записано в виде

Р = =0;

Р = =0.

Таким образом, равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна нулю только в том случае, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.

Рис. 7. Определение силы

по заданным проекциям . Рис. 8. Определение равнодействующей

системы сходящихся сил методом проекций.

Эти формулы называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач.

Следовательно, для решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил мы имеем два уравне­ния. Эти уравнения позволяют определить две неизвест­ные величины. Если же задача содержит неизвестные в количестве, превышающем число уравнений равнове­сия, то эту задачу нельзя решить методами статики абсо­лютно твердого тела. Задачи подобного типа называют статически неопределимыми

Пара сил

Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в противоположные стороны (рис. 9), называется парой сил (или просто парой).

Ранее показано, что две равные по модулю силы, приложенные к телу вдоль одной прямой и направ­ленные в противоположные стороны, образуют уравновешенную систему. Две прило­женные к телу равные по модулю силы, направлен­ные в любую сторону вдоль не параллельных, но лежащих в одной плоскости линий действия, можно сложить по правилу параллелограмма и тем самым заменить одной силой — равнодействующей .

Пара сил — и не уравновешенная система и не имеет равнодействующей. Пара сил производит на тело вращательное действие.

Например, зажав карандаш между большим и ука­зательным пальцами, мы можем его вращать, двигая пальцами в противоположные стороны, т. е. прикла­дывая к карандашу пару сил (рис.10).

В дальнейшем будет показано, что любую плоскую систему сил можно заменить либо одной эквивалентной ей силой (равнодействующей), либо одной эквивалент­ной ей парой сил. Таким образом, наравне с силой пара сил— простейший элемент статики. Условимся обозначать пару сил символом ( , ). Плоскость, в которой расположены силы, обра­зующие пару сил, называется плоскостью действия пары сил.

Как отмечалось выше, пара сил производит на тело вращательное действие, причем если смотреть на плоскость действия пары с какой-либо одной стороны, то пара может поворачивать тело либо против хода часовой стрелки (см. рис. 9 и 10), либо по ходу часовой стрелки. Количественная мера

Рис.10. Пример действия пары сил на тело.

Рис. 9. Пара сил.

воздействия пары сил на тело зависит от модуля P сил пары и кратчайшего расстояния h (см. рис. 9) между линиями их действия, называемого плечом пары. Чем больше модули P сил пары и чем больше длина плеча h, тем больший вращательный эффект производит пара на тело.

Вращательный эффект пары измеряется взятым со знаком плюс или минус произведением модуля одной из сил пары на ее плечо. Эта алгебраическая вели­чина называется моментом пары и обозначается M, т. е.

M= ± P h.

Знак плюс ставится перед числовым значением момента в том случае, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и знак минус, если пара стремится повернуть тело по ходу часовой стрелки. Например, на рис. 11, а на тело дейст­вует пара ( , ) с моментом M₁= P₁ h₁, а на рис. 11, б пара( , ) с моментом M₂= - P₂ h₂. В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах, а плечо в метрах. Соответственно момент пары измеряется в ньютонометрах (Н^.м).

Рис. 11. Определение знака момента пары сил.