Сложение плоской системы сходящихся сил. Геометрическое условие равновесия

Рассмотрим систему сил , , , , , приложенных в точке А (рис. 5, а). Требуется найти их равнодействующую.

Применив правило силового треугольника, сложим силы и . Для этого из конца вектора = отложим вектор = и, соединив точки А и С, получим геометрическую сумму (равнодействую­щую) сил и :

.

Теперь сложим силу с силой . Для этого из конца вектора = отложим вектор = и, соединив точки А и D, получим равнодействующую трех сил:

.

Далее, отложив = и ,соединив точки А и Е, получимравнодействующую четырех сил:

.

Наконец, отложив = и соединив точки А и К, получим искомую равнодействующую:

.

Из рис.5, а видим, что для получения этого окончательного результата не обязательно опреде­лять промежуточные равнодействующие , т. д., а достаточно из конца вектора = ,_, отло­жить вектор = , из конца вектора отложить вектор = и т. д., а затем «замкнуть» получив­шийся силовой многоугольник вектором . При этом вектор равнодействующей исходит из начала первой силы и заканчивается в конце последней силы.

Заметим, что порядок построения сторон силового многоугольника АВСДЕК (рис.5, а) не влияет на окончательный резуль­тат. Например, на рис. 5, б силовой многоугольник AB₁C_lD₁E₁K₁ замыкается вектором = , хотя порядок сложения векторов здесь иной:

= .

Определение равнодействующей системы сходя­щихся сил—необходимый этап для решения задачи уравновешивания заданной системы. Чтобы уравновесить систему сил, достаточно к ней добавить еще одну силу, численно равную равнодействующей, но направленную в противоположную сторону. На­пример, требуется уравновесить систему пяти сил (рис. 5, а). Для этого, построив силовой много­угольник ABCDEK, вдоль линии ак добавим силу ,

численно равную равнодействующей но противо­положно направленную (рис. 5, в). Образовавшаяся система сходящихся сил , , , , , уравновешена. В такой уравновешенной системе лю­бая из сил оказывается уравновешивающей по отно­шению к остальным.

Таким образом, если построить силовой много­угольник уравновешенной системы сил (рис.5, в), то он получится замкнутым, т. е. замыкающий вектор = 0, так как конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого.

Рис. 5. Сложение плоской системы сходящихся сил.

Следовательно, замкнутый силовой многоуголь­ник выражает в геометрической форме необходимое и достаточное условие равновесия системы сходящихся сил: система сходящихся сил уравновешена тогда и только тогда, когда силовой многоугольник замкнут.

Геометрическое условие равновесия (замкнутый силовой многоугольник) широко используется при решении задач статики.

1.9. Определение равнодействующей системы