Пусть мы имеем функцию

Дифференцирование явных функций

Понятие производной – важнейшее понятие математического анализа, наряду с понятием интеграла.

Пусть мы имеем функцию

y = f(x)

определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента х из этого промежутка функция y = f(x) имеет определенное значение.

Пусть аргумент х получил некоторое (положительное или отрицательное – безразлично) приращение Dх. В этом случае функция у получит некоторое приращение Dу. Таким образом:

при значении аргумента х будем иметь y = f(x),

при значении аргумента х + Dх будем иметь у + Dу = f(х + Dх).

Найдем приращение функции Dу:

Dу = f(x + Dx) – f(x).

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел этого отношения при Dx ® 0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) и обозначают . Таким образом, по определению

или

.

Следовательно, производной данной функции у = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Отметим, что в общем случае для каждого значения х производная имеет определенное значение, т.е. производная является также функцией от х.

Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения , , . Конкретное значение производной при x = a обозначается или . Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : .

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , то есть .

Уравнение касательной к кривой в точке :

.

Нормалью к кривой в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проходящей через точку , тогда

и уравнение нормали имеет вид

(здесь ).

Определение. Если функция

у = f(х)

имеет производную в точке , т.е. если существует

,

то при данном значении функция дифференцируема или (что равносильно этому) имеет производную.

Если функция дифференцируема в каждой точке отрезка [a: b] или интервала (a; b), то она дифференцируема на отрезке [a; b] или соответственно в интервале (a; b).

Теорема. Если функция у = f(х) дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение не верно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке функция у = f(х) непрерывна, еще не следует, что в этой точке она дифференцируема: функция f(x) может и не иметь производной в точке .

Например, рассмотрим функцию , в точке она непрерывна, но не дифференцируема

Докажем, что функция не дифференцируема в точке .

Производная функции (если она существует) равна

.

Очевидно, что при производная не существует, так как отношение равно 1 при и при , то есть не имеет предела при (ни конечного, ни бесконечного). Геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке .

Приведем далее основные формулы и правила дифференцирования.

Формулы дифференцирования основных функций.

1. . 11. .

2. . 12. .

3. . 13. .

4. . 14. .

5. . 15. .

6. . 16. .

7. . 17. .

8. . 18. .

9. . 19. .

10. .

Основные правила дифференцирования.

Пусть С – постоянная, u = u(x) и v = v(x) – функции, имеющие производные.

Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) правило дифференцирования сложной функции.

Пусть дана сложная функция y = f(x), т.е. такая, что ее можно представить в виде:

y = F(u), u = j(x)

или y = F(j(x)). В выражении y = F(u) переменную u называют промежуточной переменной.

Теорема. Если функция u = j(x) имеет в некоторой точке х производную , а функция y = F(u) имеет при соответствующем значении u производную , то сложная функция y = F(j(x)) в указанной точке х также имеет производную, которая равна , где вместо u должно быть подставлено выражение u = j(x). Коротко

,

т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по х.

Если функция y = f(x) такова, что ее можно представить в виде

y = F(u), u = j(v), v = y(x),

то нахождение производной производится путем последовательного применения указанной теоремы.

По указанному правилу имеем . Применяя эту же теорему для нахождения , будем иметь . Подставляя выражение в предыдущее равенство, получаем

или

.

Пример 1. Исходя из определения производной, найти производную функции .

Находим приращение функции

.

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел этого отношения при Dх ® 0

.

Следовательно, по определению производной .

Пример 2.Исходя из определения производной, найти производную функции y = 5 sin x +3 cos x.

Находим приращение функции:

.

Отсюда

.

Таким образом,

.

Итак, .

Пример 3. Исходя из определения производной, найти производную функции .

Находим

.

Отсюда

.

Итак, .

Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций.

Пример 4. .

Пример 5. .

.

Пример 6. .

.

Пример 7. .

Пример 8. .

Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции имеем

.

Пример 9. .

.

Пример 10. .

.

Пример 11. .

.

Пример 12. .

Пример 13. .

Пример 14. .

Пример 15. .

Пример 16. .

Пример 17. .

Пример 18. .

Пример 19. .

Пример 20. .

Пример 21. .

Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим . Продифференцируем обе части последнего равенства по х. Поскольку у является функцией от х, то ln y есть сложная функция х и . Следовательно,

,

т.е.

.

Пример 22. .

Имеем , откуда

;

.

Пример 23. .

Здесь заданную функцию также следует предварительно прологарифмировать:

;

;

.

Пример 24. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке М(2; -1).

Из уравнения кривой найдем производную:

,

т.е.

.

Следовательно, .

Уравнение касательной

, или .

Уравнение нормали

, или .