Общее исследование функции для построения её графика
Использование производной при исследовании функций сообщает многое о поведении функции, но не все. Есть моменты в исследовании, не связанные с дифференцированием, но, тем не менее очень важные для построения графика функции. Рассмотрим эти моменты в рамках общей схемы исследования функций с целью построения ее графика.
1) Нахождение области определения функции, т.е. указание тех значений переменной, при которых функция существует.
2) Определение четности (нечетности) функции.
3) Определение точек пересечения графика с осями координат.
Точками пересечения с осью абсцисс (OX) являются корни функции, т.е. те значения переменной х, при которых .
Точками пересечения с осью ординат (OY) являются точки с координатами
4) Определение промежутков знакопостоянства функции.
Промежутки, на которых функция сохраняет свой знак, можно найти методом интервалов, нанеся на числовую ось корни функции и точки разрыва (это те точки, в которых может происходить смена знака).
5) Нахождение асимптот графика функции.
Асимптотой графика функции называется прямая, к которой стремится график при бесконечном удалении от начала координат.
Асимптоты делятся на три вида: горизонтальные, вертикальные и наклонные.
Горизонтальная асимптота определяется уравнением вида , где b – имеет конечное значение и определяется из условия (если пределы при совпадают, то у функции одна горизонтальная асимптота, если пределы различны – то две).
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен +¥ или –¥. В качестве а выбирают точки разрыва функции или границы области определения.
Наклонная асимптота определяется уравнением , где k и b определяются из условий:
.
Примечание: так же, как и в случае с горизонтальной асимптотой, пределы при могут быть одинаковыми, а могут быть различными. Наклонная асимптота имеется, если и k, и b имеют конечные значения.
6) Определение промежутков возрастания и убывания, исследование на экстремум. Определение промежутков выпуклости и вогнутости графика функции.
Эти вопросы рассмотрены в начале лекции.
При построении графика функции вначале на координатной плоскости отмечают пунктиром или тонкой чертой асимптоты графика функции, если они имеются. Затем отмечают точки пересечения с осями координат, если они есть, и экстремумы функции. После этого рисуют график функции, сообразуясь со знаками функции, возрастанием или убыванием, характером выпуклости или вогнутости, поведением вблизи асимптот.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
1) Областью определения являются все значения x, кроме .
2) Т.к. , то функция нечетная.
3) График функции проходит через начало координат, т.к. при .
4) Для определения промежутков знакопостоянства функции нанесем на числовую ось точки и , в которых она может менять знак, и определим знак функции в полученных интервалах.
5) Исследуем наличие асимптот у графика функции.
,
следовательно, горизонтальной асимптоты нет.
Исследуем точки разрыва функции.
Прямые будут вертикальными асимптотами.
Для определения наклонной асимптоты составим пределы:
.
Уравнение наклонной асимптоты .
6) Находим первую производную функции:
.
Критические точки производной . Наносим их на числовую ось и определяем знаки производной:
На промежутке функция возрастает, на , , – убывает, на промежутке – снова возрастает. При у функции имеется максимум, равный ; при у функции имеется минимум, равный .
7) Находим вторую производную функции.
.
Критические точки второй производной .
Наносим их на числовую ось и определяем знаки второй производной:
График исследованной функции приведен на рисунке слева.
Дата добавления: 2016-10-18; просмотров: 1370;