Действия над комплексными числами

Определение 11.4. Комплексные числа и называются равными тогда и только тогда, когда равны их мнимые и действительные части:

Пусть заданы два комплексных числа и . Тогда можно ввести следующие операции над этими числами.

1. Суммой двух комплексных чисел называется число

;

2. Разностью комплексных чисел и называется число

;

3. Произведением чисел и называется число

;

4. Частнымот деления числа на называется число

.

Замечание 12.1. Таким образом, операции над комплексными числами вводятся по обычным правилам арифметических операций над буквенными выражениями в алгебре.

Пример 11.1.Даны комплексные числа . Найти

.

Решение.1) .

2) .

3)

.

4) Домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число, получаем

.

Тригонометрическая и показательная формы

Комплексного числа

Комплексное число можно изобразить на координатной плоскости (комплексной области) точкой с координатами , либо радиус-вектором (рис. 11.1).

	Определение 11.5. Длина вектора называется модулем комплексного числа: . Определение 11.6. Угол , образованный вектором и осью называется аргументом комплексного
рис. 11.1.

числа. Обозначают , причем

, .

Здесь - главное значение аргумента.

Замечание 11.2. Из рис. 12.1 видно, что справедливы следующие равенства: , .

Учитывая замечание 12.2, можно сформулировать следующее определение.

Определение 11.7. Тригонометрической формой комплексного числа называется запись вида

.

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть , , тогда

,

.

Возведение комплексного числа в натуральную степень находится по формуле

.

(11.1)

Корень -ой степени из комплексного числа имеет различных значений, которые выражаются формулой

, где .

(11.2)

Замечание 11.1. Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Формулы (11.1) и (11.2) называются формулами Муавра-Лапласа.

Определение 11.8. Показательной формой комплексного числа называется запись вида

.

Пример 11.2.Записать комплексное число в алгебраической форме.

Решение. .

Пример 11.3.Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

1) ; 2) ; 3) .

Решение.1) , откуда .

2) , откуда .

3) , откуда .

Пример 11.4.Вычислить .

Решение.Представим комплексное число в тригонометрической форме: , , следовательно,

.

Тогда в силу формулы (11.1) имеем

.

Пример 11.5.Найти все значения корня: .

Решение.Представим комплексное число в тригонометрической форме: , , следовательно,

.

Тогда в силу формулы (11.2) получаем

, где .

При : .

При : .

При : .