Действия над комплексными числами

Определение 11.4. Комплексные числа и называются равными тогда и только тогда, когда равны их мнимые и действительные части:

Пусть заданы два комплексных числа и . Тогда можно ввести следующие операции над этими числами.

1. Суммой двух комплексных чисел называется число

;

2. Разностью комплексных чисел и называется число

;

3. Произведением чисел и называется число

;

4. Частнымот деления числа на называется число

Замечание 12.1. Таким образом, операции над комплексными числами вводятся по обычным правилам арифметических операций над буквенными выражениями в алгебре.

Пример 11.1.Даны комплексные числа . Найти

Решение.1) .

2) .

4) Домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число, получаем

Тригонометрическая и показательная формы

Комплексного числа

Комплексное число можно изобразить на координатной плоскости (комплексной области) точкой с координатами , либо радиус-вектором (рис. 11.1).

	Определение 11.5. Длина вектора называется модулем комплексного числа: . Определение 11.6. Угол , образованный вектором и осью называется аргументом комплексного
рис. 11.1.

числа. Обозначают , причем

, .

Здесь - главное значение аргумента.

Замечание 11.2. Из рис. 12.1 видно, что справедливы следующие равенства: , .

Учитывая замечание 12.2, можно сформулировать следующее определение.

Определение 11.7. Тригонометрической формой комплексного числа называется запись вида

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть , , тогда

Возведение комплексного числа в натуральную степень находится по формуле

(11.1)

Корень -ой степени из комплексного числа имеет различных значений, которые выражаются формулой

, где

(11.2)

Замечание 11.1. Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.