Дисперсия случайной величины.
Во многих случаях возникает необходимость ввести ещё одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной ξ,вокруг её математического ожидания.
Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется число.
D ξ = M(ξ-M ξ)2 . (1)
Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от её среднего значения.
Число
(2)
называется средним квадратичным отклонением
величины ξ.
Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения ξ oт Mξ, то число можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | ξ-Mξ |.
Из определения (1) вытекают следующие два свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Это вполне соответствует наглядному смыслу дисперсии, как «меры разброса».
Действительно, если
ξ=С, то Mξ=C и, значит Dξ=M(C-C)2=M0=0.
2. При умножении случайной величины ξ на постоянное число С её дисперсия умножается на C2
D(Cξ)= C2Dξ . (3)
Действительно
D(Cξ)=M(C
=M(C .
3. Имеет место, следующая формула для вычисления дисперсии:
. (4)
Доказательство этой формулы следует из свойств математического ожидания. Мы имеем:
4. Если величины ξ1 и ξ2 независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:
. (5)
Доказательство. Для доказательства используем свойства математического ожидания. Пусть Mξ1=m1, Mξ2=m2, тогда.
Формула (5) доказана.
Так как дисперсия случайной величины есть по определению математическое ожидание величины (ξ –m)2, где m=Mξ , то для вычисления дисперсии можно воспользоваться формулами, полученными в §7 гл.II.
Так, если ξ есть ДСВ с законом распределения
x1 | x2 | ... |
p1 | p2 | ... |
то будем иметь:
. (7)
Если ξ непрерывна случайная величина с плотностью распределения p(x), тогда получим:
Dξ= . (8)
Если использовать формулу (4) для вычисления дисперсии, то можно получить другие формулы, а именно:
, (9)
если величина ξ дискретна, и
Dξ= , (10)
если ξ распределена с плотностью p(x).
Пример 1. Пусть величина ξ равномерно распределена на отрезке [a,b]. Воспользовавшись формулой (10) получим:
Можно показать, что дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону с плотностью
p(x) = , (11)
равна σ2.
Тем самым выясняется смысл параметра σ, входящего в выражение плотности (11) для нормального закона; σ ecть среднее квадратичное отклонение величины ξ.
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины ξ, распределенной по биномиальному закону.
Решение. Воспользовавшись представлением ξ в виде
ξ=ξ1+ξ2+…+ ξn (см. пример 2 §7 гл. II) и применяя формулу сложения дисперсий для независимых величин, получим
Dξ=Dξ1+Dξ2+…+ Dξn .
Дисперсия любой из величин ξi (i=1,2,…,n) подсчитывается непосредственно:
Dξi=M(ξi)2- (Mξi)2=02·q+12p-p2=p(1-p)=pq.
Окончательно получаем
Dξ=npq, где q=1 – p.
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 389;