Дисперсия случайной величины.

Во многих случаях возникает необходимость ввести ещё одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной ξ,вокруг её математического ожидания.

Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется число.

D ξ = M(ξ-M ξ)² . (1)

Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от её среднего значения.

Число

(2)

называется средним квадратичным отклонением

величины ξ.

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения ξ oт Mξ, то число можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | ξ-Mξ |.

Из определения (1) вытекают следующие два свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Это вполне соответствует наглядному смыслу дисперсии, как «меры разброса».

Действительно, если

ξ=С, то Mξ=C и, значит Dξ=M(C-C)²=M0=0.

2. При умножении случайной величины ξ на постоянное число С её дисперсия умножается на C²

D(Cξ)= C²Dξ . (3)

Действительно

D(Cξ)=M(C

=M(C .

3. Имеет место, следующая формула для вычисления дисперсии:

. (4)

Доказательство этой формулы следует из свойств математического ожидания. Мы имеем:

4. Если величины ξ₁ и ξ₂ независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

. (5)

Доказательство. Для доказательства используем свойства математического ожидания. Пусть Mξ₁=m₁, Mξ₂=m₂, тогда.

Формула (5) доказана.

Так как дисперсия случайной величины есть по определению математическое ожидание величины (ξ –m)², где m=Mξ , то для вычисления дисперсии можно воспользоваться формулами, полученными в §7 гл.II.

Так, если ξ есть ДСВ с законом распределения

то будем иметь:

. (7)

Если ξ непрерывна случайная величина с плотностью распределения p(x), тогда получим:

Dξ= . (8)

Если использовать формулу (4) для вычисления дисперсии, то можно получить другие формулы, а именно:

, (9)

если величина ξ дискретна, и

Dξ= , (10)

если ξ распределена с плотностью p(x).

Пример 1. Пусть величина ξ равномерно распределена на отрезке [a,b]. Воспользовавшись формулой (10) получим:

Можно показать, что дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону с плотностью

p(x) = , (11)

равна σ².

Тем самым выясняется смысл параметра σ, входящего в выражение плотности (11) для нормального закона; σ ecть среднее квадратичное отклонение величины ξ.

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины ξ, распределенной по биномиальному закону.

Решение. Воспользовавшись представлением ξ в виде

ξ=ξ₁+ξ₂+…+ ξ_n (см. пример 2 §7 гл. II) и применяя формулу сложения дисперсий для независимых величин, получим

Dξ=Dξ₁+Dξ₂+…+ Dξ_n .

Дисперсия любой из величин ξ_i (i=1,2,…,n) подсчитывается непосредственно:

Dξ_i=M(ξ_i)²- (Mξ_i)²=0²·q+1²p-p²=p(1-p)=pq.

Окончательно получаем

Dξ=npq, где q=1 – p.