Интегрируемые и неинтегрируемые системы

Согласно модели горячей Вселенной, все разнообразие Космоса возникло в ходе эволюции первичной бесструктурной материи – хаоса. Но тогда естественно возникает вопрос о том, как из хаоса появляются объекты. Появление макроскопически упорядоченных в пространстве и времени структур в первоначально бесструктурной среде называют самоорганизацией. Под структурой понимают не только статичные образования типа кристаллов, но и упорядоченные движения среды. В физике явления самоорганизации встречаются с атомарного уровня (ферромагнетики, сегнетоэлектрики) до образований астрономических масштабов. Кольца Сатурна, цикл солнечной активности, магнитные поля звезд и планет, звездообразование, периодические пульсации светимости цефеид, спиральная структура галактик, крупномасштабная структура Вселенной и др. -для всех этих явлений характерны одни и те же закономерности перехода из неупорядоченных состояний в упорядоченные.

Переход беспорядок – порядок наблюдается в системах, далеких от равновесного состояния, то есть при условии, когда равнодействующая всех сил, действующих на любую часть системы, не равна нулю. Переход в равновесное состояние происходит через согласованные действия всех макроскопических частей системы. Согласование осуществляется через микроскопические взаимодействия в среде. Скорость распространения сигналов взаимодействия больше, чем характерная скорость самоорганизации. Поэтому самоорганизация наблюдается как согласованный коллективный эффект. Физик Г.Хакен предложил объединить все методы описания коллективных явлений самоорганизации под названием «синергетика» («син» - вместе, «энергети» - действующий).Первый международный симпозиум по синергетике прошел в 1972 г. На нем обсуждались условия существования, устойчивости и разрушения упорядоченных структур в неравновесных системах различной природы. Для описания структурных переходов используются методы теории динамических систем. Понятие динамической системы возникло как обобщение понятия механической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями Ньютона. Затем это понятие наполнилось более глубоким содержанием: установлено, что самопроизвольное, не связанное с действием внешних регулярных полей упорядоченное поведение в неравновесной системе является следствием развития в ней определенного вида неустойчивостей. Неустойчивость означает, что движение отдельных подсистем становится стохастическим, случайным. Система самоорганизуется, если стохастические и коллективные эффекты уравновесятся. Система оказывается в динамическом равновесии [20].

Динамические системы делят на интегрируемые и неинтегрируемые. Система дифференциальных уравнений проинтегрирована если найдены полный набор ее первых интегралов – функций, которые сохраняют свое значение на всей траектории, определяемой уравнениями движения. Число первых интегралов равно числу степеней свободы, то есть числу динамических переменных, которые описывают систему. Первые интегралы позволяют найти состояния системы в любой момент времени, если известно ее состояние в какой - либо предшествующий момент. Задание состояния в какой – либо момент времени позволяет определить ее состояние в прошлом и будущем. Для системы двух шаров, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона: число степеней свободы – 2, первые интегралы–интеграл полной энергии и интеграл момента импульса. С этими интегралами связаны законы Кеплера. В интегрируемых системах не происходит смены структур, они не эволюционируют. Теорема Пуанкаре утверждает, что интегрируемая система рано или поздно возвратится в начальное состояние.

Неинтегрируемые системы имеют полный набор первых интегралов, но не все они оказываются аналитическими функциями. В этом случае в системе может появиться стохастическое движение. Неинтегрируемость есть следствие обмена энергией между различными степенями свободы. (Например, задача трех тел в общем случае неинтегрируема). В 1947 г. О.Ю.Шмидт показал, что в задаче трех тел нет симметрии прошлого и будущего. То есть повтор конфигурации может произойти только через очень большое время. Такая система как целое эволюционирует во времени. Эволюционные свойства неинтегрируемых систем не связаны со сложностью системы (много степеней свободы). Они определяются главным образом характером взаимодействий в системе.

Теория КАМ (Колмогоров – Арнольд-Мозер) доказывает возможность существования неинтегрируемых систем, траектории которых в пространстве состояний очень сложные, и имеют стохастический характер. Систему, в которой стохастичность траекторий является следствием внутренних взаимодействий, а не случайных внешних воздействий, называют динамическим хаосом. В динамическом хаосе индивидуальные траектории движения частиц неустойчивы, направление вектора скорости изменяется очень быстро (хаос). В расположении частиц прослеживается закономерность – корреляция. Она существует в течение времени меньше времени перемешивания. Если время перемешивания велико, то среда приобретает определенную структуру. Структуры сменяют друг друга по истечении времени перемешивания (в истинном хаосе нет корреляций, в распределении и движении частиц нет структур).С точки зрения теории динамического хаоса самоорганизация – это рождение структур из хаоса структур. Какая возникает структура, согласно теории КАМ, однозначно предсказать нельзя. Но можно предсказать тип структур. Их изучает теория катастроф. Это теория перехода динамической системы из одного состояния в другое при изменении параметров. Локальное изменение параметров может произойти из – за взаимодействия в самой системе, например, из – за столкновения частиц.

Динамические системы делят на изолированные (консервативные) и открытые. Открытые системы взаимодействуют с внешней средой. Поток энергии через однородную систему может вывести ее из устойчивого состояния.

Динамический хаос как внутреннее свойство возникает почти в любой физической системе, если число степеней свободы больше двух. Мы его не обнаруживаем или потому что требуется большое время или внешние воздействия так изменяют динамику системы, что распределение и движение вещества не выглядит регулярным.