Непрямой адаптивный нечеткий контроллер

Уравнения движения некоторого класса нелинейных динамических объектов в непрерывной области можно представить в канонической (аффинной) форме

(1)

где f и g неизвестные нелинейные функции с предположением g>0 , u и y скалярные вход (управление) и выход ОУ соответственно.

Цель управления принудить вектор состояния отслеживать конкретную желаемую траекторию , другими словами, заставить y(t)следить за изменениями желаемого сигнала = . Если мы определим векторную ошибку слежения как , то целью управления можно считать проектирование закона управления, который обеспечивает при . Уравнение (1) описывает объект, который можно преобразовать в линейный объект, используя линеаризацию обратной связью, если и точно известная функция. Конкретно следующий закон управления

(2)

преобразует с учетом и = исходное нелинейное уравнение (1) в линейное уравнение для ошибки

, (3)

где и представляет собой соответствующим образом выбранный вектор, при котором все корни характеристического уравнения являются левыми, так что этот вектор обеспечивает при , т. е. выход объекта y сходится асимптотически к идеальному выходу y_ж.

Так как функции f и g неизвестны, то интуитивным кандидатом на роль u в (2) должно быть управление

. (4)

Здесь и являются параметризованными соответственно функциями _f и _g, реализуемыми адаптивным устройством, которое обладает достаточно хорошими свойствами, чтобы аппроксимировать и . Разумно получить оценки = , = соответственно для неизвестных функций и , используя нечеткую систему, описываемую правилами:

(5)

Типично неизвестные векторы параметров _f и _g являются центрами нечетких множеств выхода и в правилах (5). Используя синглтонную фаззификацию, конъюнкцию и импликацию в виде алгебраического произведения, дефаззификацию в форме центра тяжести, и следуя процедуре, изложенной в лекции 12, оценки можно записать в следующем виде

, (6)

, (7)

где и нечеткие базисные функции, определенные соответственно для и аналогично выражению ().

Следующий шаг настроить векторы параметров _f и _g так, чтобы ошибка слежения (воспроизведения) e и ошибки параметров и были минимальными. В последних выражениях и представляют собой оптимальные значения параметров, определяемые как

, (8)

. (9)

При этом минимальная ошибка аппроксимации, т.е. ошибка от замены правой части (1) для u(t)=u_c (t) на

, (10)

равна

. (11)

Выражая из (4)

,

с учетом (1) получаем

=

или в матричной форме

, (12)

. (13)

При этом принято во внимание, что с учетом (6), (7), (10) и (11)

Продолжая рассмотрение задачи минимизации ошибки аппроксимации, воспользуемся методом синтеза Ляпунова и определим следующую функцию Ляпунова

(14)

где и постоянные и P симметричная положительно определенная матрица, удовлетворяющая уравнению Ляпунова

Здесь Q матрица, определяемая проектировщиком системы. Заметим , что решение уравнения всегда существует, т.к все собственные значения матрицы являются левыми в силу выбора коэффициентов . Производная от функции Ляпунова по времени с учетом (12) определяется следующим выражением

При получении окончательного результата для было принято во внимание, что производные по времени от и равны нулю, а также то, что транспонирование скалярной величины не изменяет ее выражения.

Закон адаптации, который минимизирует функцию Ляпунова имеет следующий вид

.

Отсюда

= +

Если d=0, то , т.к. Q положительно определенная матрица. Если , то следует ожидать, что в соответствие с теоремой об универсальной аппроксимации |d| будет малой величиной. Следовательно, если Q выбрано соответствующим образом, то можно обеспечить выполнение условия . При V > 0 и < 0 легко установить, что в соответствии с (14) функции являются ограниченными. Следовательно, также ограниченная функция в соответствии с (12). Отсюда согласно лемме Барбалата

.

Используя этот закон управления, получаем замкнутую систему, описываемую уравнением

. (5)