Устойчивость систем с нечеткими контроллерами

Будет ли система устойчива с полученным в результате проектирования нечетким регулятором? Этот вопрос до последнего времени в определенной степени остается открытым. Устойчивость - свойство, способность системы с течением времени возвращаться в прежнее состояние равновесия или оказаться весьма близко к нему после устранения причины, вызвавшей ее отклонение от этого состояния равновесия. Устойчивая линейная система, как известно, асимптотически возвращается в состояние равновесия независимо от того, в каком состоянии она находилась до момента ее включения. Отсюда весьма просто оценить устойчивость линейной системы, к примеру, путем оценки того, находятся ли все полюсы системы, другими словами, все собственные значения системной матрицы в левой половине комплексной плоскости или нет. По отношению к нелинейным системам, а также нечетким системам, которые в большинстве своем являются нелинейными, понятие устойчивости выглядит куда более сложным. Говорят, что автономная нелинейная система является асимптотически устойчивой в малом, если она, начав свое движение из начального состояния, весьма близкого к желаемому состоянию равновесия, с течением времени оказывается в желаемом состоянии. Разумеется, после устранения причины, вызвавшей переход системы в начальное состояние. Заметим, что в теории управления за желаемое часто принимается нулевое состояние равновесия. Даже если с течением времени автономная система не возвращается в желаемое состояние равновесия, а остается в малой его окрестности, говорят, что система является устойчивой по Ляпунову. Найти условия устойчивости для нелинейных систем значительно сложнее, потому что поведение системы, находящейся под влиянием внешнего сигнала, зависит не только от частоты сигнала, но также от его амплитуды. В литературе в основном рассматриваются три метода исследования устойчивости нелинейных систем (прямой метод Ляпунова, критерий Попова, метод гармонической линеаризации). Характерно, однако, что все эти методы дают довольно скромные результаты, приводят к нереально малым значениям коэффициентов усиления, при которых гарантируется устойчивость системы.

Другая возможность − аппроксимировать нелинейный контроллер линейным контроллером, а затем применить классические методы анализа устойчивости и проектирования линейных систем. Кажется весьма вероятным, что «запасы устойчивости» нелинейной системы будут мало отличаться от запасов устойчивости линейной аппроксимации. В данном разделе будет показано, как можно осуществить такую линейную аппроксимацию. Однако теоретическое обоснование подобной аппроксимации пока еще не получено.

Лекция 8