Графическая интерпретация операций импликации и инференции для непрерывных универсумов

Композиционное правило инференции является обобщением следующего известного понятия. Предположим, что мы имеем функцию y =f(x), которая определяет отношения между интервальными переменными, как показано на рисунке ниже. Чтобы найти результирующий интервал y=b, соответствующий интервалу x=a, мы вначале создаем цилиндрическое расширение a (т.е. расширяем область a из линии X на плоскость X Y) и затем находим его пересечение I с графиком интервальной зависимости. Проекция I на ось y определяет искомый интервал y=b.

Обобщим эту графическую интерпретацию на операции импликации и инференции.

Пусть бинарное нечеткое отношение определено в декартовом пространстве X Y непрерывных универсумов X и Y как пересечение множеств A и B . Тогда функция принадлежности нечеткого отношения R может быть представлена как поверхность в трехмерном пространстве. В качестве примера на рис. 1.5,а показана такая поверхность для треугольной функции принадлежности для A и трапециидальной функции принадлежности для B.

Рис. 1.5,а

Остановимся на том, каким образом получено графическое представление нечеткого отношения между множествами A и B, для которых известны их функции принадлежности и .

Прежде всего, заметим, что двумя важными операциями на нечетких множествах и нечетких отношениях являются проекция и цилиндрическое расширение. Операция проекция преобразует тернарное отношение(отношение трех нечетких множеств) в бинарное, или бинарное отношение в нечеткое множество, или нечеткое множество в четкое единственное значение.

В бинарном случае проекция R на Y (полагаем, что R определено на X Y) определяется как

.

В результате этой операции над нечетким отношением, представленным функцией принадлежности, изображенной на рис. 1.5,а, получаем проекцию (тень) Rна Y в виде множества B (рис. 1.5,б).

Рис. 1.5,б

Аналогичным образом определяется проекция (тень) R на X в виде выражения

и в виде множества A (рис. 1.5,в).

Рис. 1.5,в

Вместо оператора супремум (supremum, верхняя грань), который необходим, когда универсумы X и Y являются непрерывными, для дискретных универсумов используют оператор max.

Лекция 6

Операция проекция почти всегда применяется в комбинации с цилиндрическим расширением. Цилиндрическое расширение до некоторой степени противоположно проекции. Эта операция расширяет нечеткое множество до нечеткого бинарного отношения, нечеткое бинарное отношение до нечеткого тернарного отношения, и т. д. В бинарном случае (пусть нечеткое множество A определено на универсуме X) цилиндрическое расширение A на X Y является множеством всех кортежей (упорядоченных пар) (x,y) X Y со степенью принадлежности , т.е.

или

.

Такое цилиндрическое расширение для треугольной функции принадлежности представлено на рис. 1.5, г.

Рис. 1.5, г

Для заданных нечетких множеств A и B непосредственнонельзя найти графическое представление их отношения. Однако если A расширено на X Y, т.е. получено , и B расширено на X Y, т.е. получено , то такое представление оказывается возможным (рис. 1.5,д). Здесь

.

Пример. A B на X Y .

Рис. 1.5,д

В результате расширения множеств A и B и последующего выполнения операции пересечения этих расширений мы получаем в виде поверхности двумерную ФП для нечеткого отношения (показана красным цветом).

Операции цилиндрического расширения и пересечения служат главным образом для следующей цели: пусть является нечетким множеством, определенном на X, и пусть R является нечетким отношением множеств A и B, определенном на X Y . При этом конечно, нельзя найти пересечение и R, однако, если расширено на X Y, то определить такое пересечение оказывается возможным. Другими словами, при этом можно найти

.

Таким образом, мы получаем нечеткое отношение = , другими словами, пересечение цилиндрического расширения и отношения R, связывающее нечеткие множества и с функциями принадлежности и соответственно, т.е.

.

(Сравните с графиком интервальной зависимости, рассмотренным ранее.)

Теперь функцию принадлежности нечеткого множества можно найти как проекцию на y

.

Следовательно, приходим к нечеткому логическому выводу , представленному в графической форме (рис. 1.5,е).

Рис.1.5,е

Несколько правил

Базовые правила обычно содержат несколько правил. Остановимся на том, каким образом мы их объединяем. Обратимся к простым базовым правилам

Если уровень есть НИЗКИЙ (A₁), то сигнал (V₁) есть ОТКРЫТЬ (B₁) (1.21)

Если уровень есть ВЫСОКИЙ (A₂), то сигнал (V₁) есть ЗАКРЫТЬ (B₂).

и найдем лингвистическую модель, связывающую переменные уровень и входной сигнал вентиля,

Мы неявно предполагаем наличие связки илимежду правилами, так что отношение между предпосылкой и заключением правил записывается, как R₁ R₂, где

R₁ низкий открыть

есть импликация для первого, а

R₂ высокий закрыть

− импликация для второго правила. Нечеткое отношение R,представляющее оба правила (1.21), вычисляется как логическое илидвух таблицдляR₁ и R₂ элемент за элементом (поэлементный максимум). В общих обозначениях для N правил, мы имеем

.

Теперь все правила отображаются как одно нечеткое множество Rи выход лингвистической модели представляет собой максиминную композицию

.

При этом инференция осуществляется над отношением R.

Пример 1.14 (ОМР, два правила). Дополним рассмотренное в примере 1.12 правило «Если уровень есть НИЗКИЙ, то входной сигнал V₁ вентиля ОТКРЫТЬ»с термами (нечеткими множествами) НИЗКИЙ(A₁) и ОТКРЫТЬ(B₁), определяемыми c помощью дискретных функций принадлежности как

а₁= низкий = [1 0,75 0,5 0,25 0]

b₁= открыть = [0 0,5 1],

еще одним правилом «Если уровень есть ВЫСОКИЙ, то входной сигнал V₁ вентиля ЗАКРЫТЬ»с переменными (нечеткими множествами) ВЫСОКИЙ (A₂) и ЗАКРЫТЬ (B₂), определяемыми c помощью дискретных функций принадлежности как

a₂= высокий = [0 0,25 0,5 0,75 1]

b₂=закрыть = [1 0,5 0].

Нечеткое отношение R₁ низкий открыть, другими словами,импликация для первого правила определяется выражением (1.13а), т.е.

а нечеткое отношение R₂ высокий закрыть − импликация для второго правила в соответствии с (1.13) вычисляется по следующей схеме

.

Отсюда

Нечеткое отношение R= R₁ R₂ есть логическое илидвух отношений R₁иR₂ элемент за элементом (поэлементный максимум):

Графическая визуализация этих шагов представлена на рис. 1.6.

В MATLAB 6.5 /work/script1/plotreal.m

Рис. 1.6

Изображенные на этом рисунке отношения вычисляются с помощью значительно меньшего шага квантования сигналов «уровень» и «входной сигнал вентиля», обозначенных соответственно как x и y, по сравнению с функциями принадлежности a_iиb_i, (i=1,2). Т.е. путем использования дискретных функций принадлежности, получаемых из непрерывных функций принадлежности (рис. 1.7), путем более «частого» квантования.

Рис. 1.7

В соответствии с полученным изображением отношения Rлингвистическая модель, связывающая сигналы y и x, называется нечетким графом. Рис. 1.8 показывает нечеткий граф для нашего примера (другими словами, изолинии для R, где степень затемнения соответствует степени принадлежности). Самые темные участки

Рис. 1.8

говорят о том, что значения y и x связаны со степенью 1, более светлые свидетельствуют о более слабой связи.

Нечеткую композицию

= v₁ = R

можно трактовать как вычисление значения функции на нечетком графе, а последний как нечеткую функцию. На рис. 1.9 дана геометрическая интерпретация вычисления значений нечеткой функции при четком (синглтон) и нечетком (нечеткое множество) аргументах в самом общем случае.

Для рассматриваемого примера возможную четкую функцию, отражающую связь y и x, можно представить в виде сплошной прямой (рис. 1.8).

Пример 1. Если x есть A , то y есть B.

Пример 2.

Если x есть A₁ , то y есть B₁ ,

Если x есть A₂ , то y есть B₂ ,

Если x есть A₃ , то y есть B₃ ,

Если x есть A₄ , то y есть B₄ .