Графическая интерпретация операций импликации и инференции для непрерывных универсумов

<6 7 8910 11 12 >

Композиционное правило инференции является обобщением следующего известного понятия. Предположим, что мы имеем функцию y =f(x), которая определяет отношения между интервальными переменными, как показано на рисунке ниже. Чтобы найти результирующий интервал y=b, соответствующий интервалу x=a, мы вначале создаем цилиндрическое расширение a (т.е. расширяем область a из линии X на плоскость X Y) и затем находим его пересечение I с графиком интервальной зависимости. Проекция I на ось y определяет искомый интервал y=b.

Обобщим эту графическую интерпретацию на операции импликации и инференции.

Пусть бинарное нечеткое отношение определено в декартовом пространстве X Y непрерывных универсумов X и Y как пересечение множеств A и B . Тогда функция принадлежности нечеткого отношения R может быть представлена как поверхность в трехмерном пространстве. В качестве примера на рис. 1.5,а показана такая поверхность для треугольной функции принадлежности для A и трапециидальной функции принадлежности для B.

Рис. 1.5,а

Остановимся на том, каким образом получено графическое представление нечеткого отношения между множествами A и B, для которых известны их функции принадлежности и .

Прежде всего, заметим, что двумя важными операциями на нечетких множествах и нечетких отношениях являются проекция и цилиндрическое расширение. Операция проекция преобразует тернарное отношение(отношение трех нечетких множеств) в бинарное, или бинарное отношение в нечеткое множество, или нечеткое множество в четкое единственное значение.

В бинарном случае проекция R на Y (полагаем, что R определено на X Y) определяется как

В результате этой операции над нечетким отношением, представленным функцией принадлежности, изображенной на рис. 1.5,а, получаем проекцию (тень) Rна Y в виде множества B (рис. 1.5,б).

Рис. 1.5,б

Аналогичным образом определяется проекция (тень) R на X в виде выражения

и в виде множества A (рис. 1.5,в).

Рис. 1.5,в

Вместо оператора супремум (supremum, верхняя грань), который необходим, когда универсумы X и Y являются непрерывными, для дискретных универсумов используют оператор max.

Лекция 6

Операция проекция почти всегда применяется в комбинации с цилиндрическим расширением. Цилиндрическое расширение до некоторой степени противоположно проекции. Эта операция расширяет нечеткое множество до нечеткого бинарного отношения, нечеткое бинарное отношение до нечеткого тернарного отношения, и т. д. В бинарном случае (пусть нечеткое множество A определено на универсуме X) цилиндрическое расширение A на X Y является множеством всех кортежей (упорядоченных пар) (x,y) X Y со степенью принадлежности , т.е.

или

Такое цилиндрическое расширение для треугольной функции принадлежности представлено на рис. 1.5, г.

Рис. 1.5, г

Для заданных нечетких множеств A и B непосредственнонельзя найти графическое представление их отношения. Однако если A расширено на X Y, т.е. получено , и B расширено на X Y, т.е. получено , то такое представление оказывается возможным (рис. 1.5,д). Здесь

Пример. A B на X Y .

Рис. 1.5,д

В результате расширения множеств A и B и последующего выполнения операции пересечения этих расширений мы получаем в виде поверхности двумерную ФП для нечеткого отношения (показана красным цветом).

Операции цилиндрического расширения и пересечения служат главным образом для следующей цели: пусть является нечетким множеством, определенном на X, и пусть R является нечетким отношением множеств A и B, определенном на X Y . При этом конечно, нельзя найти пересечение и R, однако, если расширено на X Y, то определить такое пересечение оказывается возможным. Другими словами, при этом можно найти

Таким образом, мы получаем нечеткое отношение = , другими словами, пересечение цилиндрического расширения и отношения R, связывающее нечеткие множества и с функциями принадлежности и соответственно, т.е.

(Сравните с графиком интервальной зависимости, рассмотренным ранее.)

Теперь функцию принадлежности нечеткого множества можно найти как проекцию на y

Следовательно, приходим к нечеткому логическому выводу , представленному в графической форме (рис. 1.5,е).

Рис.1.5,е

Несколько правил

Базовые правила обычно содержат несколько правил. Остановимся на том, каким образом мы их объединяем. Обратимся к простым базовым правилам

Если уровень есть НИЗКИЙ (A₁), то сигнал (V₁) есть ОТКРЫТЬ (B₁) (1.21)

Если уровень есть ВЫСОКИЙ (A₂), то сигнал (V₁) есть ЗАКРЫТЬ (B₂).

и найдем лингвистическую модель, связывающую переменные уровень и входной сигнал вентиля,

Мы неявно предполагаем наличие связки илимежду правилами, так что отношение между предпосылкой и заключением правил записывается, как R₁ R₂, где

R₁ низкий открыть

есть импликация для первого, а

R₂ высокий закрыть

− импликация для второго правила. Нечеткое отношение R,представляющее оба правила (1.21), вычисляется как логическое илидвух таблицдляR₁ и R₂элемент за элементом (поэлементный максимум). В общих обозначениях для N правил, мы имеем

Теперь все правила отображаются как одно нечеткое множество Rи выход лингвистической модели представляет собой максиминную композицию

При этом инференция осуществляется над отношением R.

Пример 1.14 (ОМР, два правила). Дополним рассмотренное в примере 1.12 правило «Если уровень есть НИЗКИЙ, то входной сигнал V₁ вентиля ОТКРЫТЬ»с термами (нечеткими множествами) НИЗКИЙ(A₁) и ОТКРЫТЬ(B₁), определяемыми c помощью дискретных функций принадлежности как

а₁= низкий = [1 0,75 0,5 0,25 0]

b₁= открыть = [0 0,5 1],

еще одним правилом «Если уровень есть ВЫСОКИЙ, то входной сигнал V₁ вентиля ЗАКРЫТЬ»с переменными (нечеткими множествами) ВЫСОКИЙ (A₂) и ЗАКРЫТЬ (B₂), определяемыми c помощью дискретных функций принадлежности как

a₂= высокий = [0 0,25 0,5 0,75 1]

b₂=закрыть = [1 0,5 0].

Нечеткое отношение R₁ низкий открыть, другими словами,импликация для первого правила определяется выражением (1.13а), т.е.

а нечеткое отношение R₂ высокий закрыть − импликация для второго правила в соответствии с (1.13) вычисляется по следующей схеме

Отсюда

Нечеткое отношение R= R₁ R₂ есть логическое илидвух отношений R₁иR₂ элемент за элементом (поэлементный максимум):

Графическая визуализация этих шагов представлена на рис. 1.6.

В MATLAB 6.5 /work/script1/plotreal.m

Рис. 1.6

Изображенные на этом рисунке отношения вычисляются с помощью значительно меньшего шага квантования сигналов «уровень» и «входной сигнал вентиля», обозначенных соответственно как x и y, по сравнению с функциями принадлежности a_iиb_i, (i=1,2). Т.е. путем использования дискретных функций принадлежности, получаемых из непрерывных функций принадлежности (рис. 1.7), путем более «частого» квантования.

Рис. 1.7

В соответствии с полученным изображением отношения Rлингвистическая модель, связывающая сигналы y и x, называется нечетким графом. Рис. 1.8 показывает нечеткий граф для нашего примера (другими словами, изолинии для R, где степень затемнения соответствует степени принадлежности). Самые темные участки

Рис. 1.8

говорят о том, что значения y и x связаны со степенью 1, более светлые свидетельствуют о более слабой связи.

Нечеткую композицию

= v₁ = R

можно трактовать как вычисление значения функции на нечетком графе, а последний как нечеткую функцию. На рис. 1.9 дана геометрическая интерпретация вычисления значений нечеткой функции при четком (синглтон) и нечетком (нечеткое множество) аргументах в самом общем случае.