Моделирование образов, полученных с использованием различных вариограмм

Модели вариограмм, представленные в предыдущем разделе, имеют различные области распространения. Наиболее часто применяются экспоненциальная и сферическая модели, достаточно редко - модель скважинного эффекта. Когда большинство людей смотрят на уравнения моделей, они не могут представить себе, как могут вести себя пространственные переменные, имеющие эти вариограммы. Насколько разные свойства они имеют? Чтобы проследить различия между вариограммами, мы создадим по одной реализации (одному возможному образу) для каждой из четырех вариограмм: экспоненциальной, сферической, Гаусса и синусоидальной. (Рис. 3.13. – 3.16.) Везде используется нулевой эффект самородка. Все эти вариограммы имеют порог, поэтому они соответствуют стационарным переменным.

Полученные изображения имеют размеры 200 точек на 200 точек. Зона влияния в направлении Восток-Запад (практическая зона) была от этого. Темные и светлые участки на рисунках растягиваются и сжимаются в соответствии с принятой анизотропией. Для тех, кому интересны технические детали, моделирование было сделано с использованием 400 turning bands и результирующее распределение – N(0,1). Методы эмуляции не охватываются линейной геостатистикой. Детали можно найти в Джорнел (Journel) и Хьюбрегтс (Huijbregts) (1978) или Лантье (Lantuejoul) (1994).

Сравнивая четыре рисунка, становится ясно, что экспоненциальная и сферическая вариограммы приводят к более “нечетким” образам, чем модель Гаусса или синусоидальная. Эта существенная разница объясняется фактом, что сферическая и экспоненциальная модели линейны в начале, в то время как остальные две имеют в начале параболическую форму. Вариограммы, которые в начале описываются квадратичной функцией, связаны с явно непрерывными переменными. Для и Экспоненциальная модель в отличие от сферической с одинаковым порогом и зоной быстрее возрастает в начале. Этим объясняется, почему картинка, построенная с использованием экспоненциальной модели, имеет менее выраженную структуру, чем для соответствующей сферической.

Если для создания аналогичного рисунка использовать чистый эффект самородка, то полученный образ полностью не будет иметь структуры, а точки с высокими и низкими значениями будут расположены случайно. Это приведет к очень “пятнистой” картинке серого цвета с неотчетливыми участками с высокими и низкими значениями переменной.

Очень важно для подгонки моделей к экспериментальным вариограммам и затем для кригинга сохранить в голове связь между моделью вариограммы и ее реализациями, Если недоступны данные, очень близко расположенные друг к другу, то форму вариограммы около начала легче выбрать с помощью геостатистики чем подобрать ее к экспериментальным функциям. Поэтому очень важно понимать критерии для такого выбора, руководствуясь или непрерывностью переменных, или их поведением.

Упражнения

Свойства вариограмм. Перед подбором моделей к экспериментальным вариограммам очень важно познакомиться ближе с их свойствами.

Упр 3.1 Сферическая модель. Напишите уравнение сферической модели с зоной– 300 м и порогм – 2. Нарисуйте ее форму для расстояния от h= -500 м до h= +500 м, помня что g(-h)= g(h). Обратите внимание на отражение образа функции вокруг оси y.

Кривая непрерывна в начале, но что можно сказать о ее производной? Когда мы познакомимся с кригингом, мы увидим, что оценки кригинга “наследуют” прерывистость переменной из функции вариограммы и ее производной.

Рис 3.13. Модулирование переменных, имеющих экспоненциальную вариограмму

Рис 3.14. Модулирование переменных, имеющих сферическую вариограмму

Рис 3.15. Модулирование переменных, имеющих гауссову вариограмму

Рис 3.16. Модулирование переменных, имеющих синусоидальную вариограмму

Упр 3.2 Экспоненциальная модель. Напишите уравнение экспоненциальной модели с масштабным параметром– 100 м и порогом – 2. Чему равна практическая зона влияния? Нарисуйте форму вариограммы для расстояния 500 м. Сравните эту модель со сферической моделью из первого упражнения.

Упр 3.3 Касательные к в началу. Найдите углы наклона сферической и экспоненциальной моделей, описанных в упражнениях 3.1 и 3.2, дифференцируя их уравнения по h. Найдите расстояние, на котором касательные к началу пересекают порог.

Упр 3.4 Модель Гаусса. Напишите уравнение модели Гаусса с масштабным параметром – 100м и порогом – 2. Какая практическая зона влияния? Нарисуйте ее форму для расстояний от h= -500м до h= +500м. Как и раньше, левая сторона является отражением правой стороны. Какой наклон касательной в начале? Кривая непрерывна, но что можно сказать о производной? Что можно сказать о более высоких порядках производных?

Упр 3.5 Факторные ковариации. Напишите уравнение гауссовой модели ковариации с масштабным параметром – 1 и единичным порогом, но помните что

g(h)=C(0)-C(h)

Используя утверждение, что в двухмерном пространстве h² эквивалентен x² +y², разложите C(h) на составляющие из двух оснований: exp(-x²) и exp(-y²). Можно ли это распространить на трехмерное пространство? Когда мы дойдем до главы о кригинге, мы увидим, что факторные ковариации, как и эта, приводит к странному “перпендикулярному” экранному эффекту.

Упр 3.6 Вариограммы, которые линейны около начала. Сферическая и линейная модели обе линейны в начале. Напишите их углы наклона в начале в терминах порога, C, и параметра зоны, a.

Предположим, что экспериментальная вариограмма линейна с наклоном 0.5 для расстояний до 10м. Найдем подходящие значения a и C для сферической вариограммы и для экспоненциальной, которые имеют такой же наклон. Покажем, что выбор C=50 и a=15 дает наклон 5 в начале для сферической модели. Нарисовав соответствующую вариограмму определим, линейна ли она до 10м. Для этого необходимы большие значения a и C. Зная углы наклона в начале можно позже использовать их для подгонки экспериментальных вариограмм.

Вычисление дисперсии линейных комбинаций. Большинство оценок, используемых в науках о Земле, можно зависать в виде линейных комбинаций. Они включают оценки, основанные на полигонах или на методе обратных расстояний (в т.ч. - обратных квадратичных расстояний). Следующие упражнения дадут читателю практику вычислений этих дисперсий.

Упр 3.7. Предположим, что две пробы, x₁ и x₂, разделены 100 метрами. Вычислим дисперсию линейной комбинации: Z*=Z(x₁)+Z(x₂), где Z(x) стационарная переменная со сферической вариограммой, зоной 250м и порогом 3.

Какая будет дисперсия, если взять зону 25м вместо 250м?

Какая будет дисперсия, если вариограммой будет чистый эффект самородка 3.0? Почему значение ее будет такое же, как и при зоне 25м?

Упр 3.8. Предположим линейную комбинацию:

где l₁, l₂, l₃ и l₄ – константы, а x₁, x₂, x₃ и x₄ – вершины прямоугольника со сторонами 30м и 40м. Вариограмма Z(x) - сферическая с зоной 100м, порогом 4.0 и эффектом самородка 1.0. Вычислите дисперсию Z* для случая, когда l₁= l₂=1.0 и l₃= l₄=-1.0.

Возможно ли оценить дисперсию линейной комбинации, если вариограмма линейна? Объясните почему. Будет ли все это правдой, если все веса будут равны 0.25?

Упр 3.9. Обоснуйте необходимость использования только допустимых моделей вариограмм на примере случая, когда использовалась нестандартная модель. Модель и расположение данных показаны ниже. Три точки образуют равнобедренный треугольник со сторонами 0.8, 0.8 и 1.0. После расчета суммы весов, равной 0, вычислим дисперсию линейной комбинации:

Дисперсия этой комбинации отрицательна, потому что функция, используемая в качестве модели вариограммы, положительно не определенна или определенна условно отрицательно (даже, если ее форма примерно подходит под гауссовскую модель вариограммы).

Упр 3.10 Кусочная линейная модель в двухмерном пространстве. Это упражнение предназначено для выделения другой еле заметной особенности положительно определенных функций. Они могут быть положительно определены в одномерном пространстве и не определены в двухмерном, а также - в пространствах с более высокими размерностями. Мы используем кусочную линейную модель для иллюстрации этого явления. Упражнение 3.11 представит конструкцию для построения этой вариограммы в одномерном случае.

Возьмите регулярную сетку 1м на 1м, содержащую 8 на 6 ячеек (48 ячеек). Будем использовать веса +1 и –1 так, чтобы соседние точки всегда имели веса с противоположными знаками. Проверьте, что сумма весов равна нулю. Вариограмма и пространственная ковариация для кусочной линейной модели с единичным порогом и зоной показаны выше. Вычислите дисперсию этой линейной комбинации. Подсказка: вычислять проще, если сначала работать с ковариациями, потому что они все будут нулевые для расстояний равных или более .

Истина заключается в том, что по крайней мере одна линейная комбинация с отрицательной дисперсией доказывает, что эта модель неприменима в одномерном пространстве. Здесь нет путей “доказательств”, что модель положительно определена, с помощью проверки дисперсий особенных комбинаций, потому что невозможно проверить каждую из них. Требуется гораздо более общий метод.

Построение случайной функции для получения новых моделей вариограмм. Так как очень трудно проверить функцию на положительную определенность, то большинство новых моделей вариограмм строятся с помощью подходящих конструкций. Эти упражнения представляют некоторые из них, начиная с кусочной линейной модели в одномерном пространстве.

Упр 3.11 Кусочная линейная модель в одномерном пространстве. Цель этого упражнения показать, что кусочная линейная модель является допустимой вариограммой в одномерном пространстве. После построения начала, x₀, на случайном интервале [0, a], разделите линию на сегменты длиной a. Случайная функция, Y(x), строится присваиванием значения каждому сегменту из распределения со средним m и дисперсией s². Значения разных сегментов независимы.

Вероятность того, что две точки, x и x+h, выбранные случайно, принадлежат одному интервалу, зависит от расстояния между ними. Покажите, что вероятность равна 0, если или же это эквивалентно: .

Покажите, что , если , поскольку иначе это нуль. Следовательно, покажите, что вариограмма Y(x) является кусочной линейной моделью с порогом s²/a и протяженностью a.

Упр 3.12 Экспоненциальная модель в одномерном пространстве. Это упражнение является простым расширением предыдущего. Мы построим случайную функцию, имеющую экспоненциальную вариограмму. Как и раньше, начало x₀ взято случайно на интервале [0, a], но в то же время мы делим линию на сегменты, длина которых является пуассоновской случайной величиной с интенсивностью l.

Как и раньше, случайная функция Y(x) строится присваиванием каждому сегменту величины с распределением, имеющим среднее m и дисперсию s². Величины независимы для каждого сегмента. Покажите, что вариограмма экспоненциальна с порогом s² и масштабным параметром l.

Упр 3.13 Сферическая модель в трехмерном пространстве. В этом упражнении мы построим в трехмерном пространстве случайную функцию, имеющую сферическую вариограмму. Пусть пространство заполнено пуассоновскими точками с интенсивностью l. Поэтому количество точек, попавших в объем V, является пуассоновской случайной величиной с параметром lV. Ее среднее и дисперсия равны lV. Более того, количество точек в двух объемах V и V’ независимы, если объемы не пересекаются. Пусть Y(x) будет количеством пуассоновских точек, попавших в сферу радиусом D и центром в точке x. Покажите, что такая вариограмма является сферической моделью.

Подсказка: Когда точки x и x+h удалены более чем на D, сферы не пересекаются и, поэтому Y(x) и Y(x+h) независимы. Когда точки ближе друг к другу, то лучше разделить две сферы на три непересекающиеся части, как показано ниже:

Затем, если N(V) обозначает количество пуассоновских точек в V, то

Чтобы закончить доказательство, достаточно вычислить объем V₂, как геометрическое тело поворота.

Объем

Упр 3.14 Линейная модель в одномерном пространстве. Это упражнение образует случайную величину, имеющую линейную вариограмму. Пусть W_i - заданные независимые случайные величины, которые имеют значения +1 и –1 с одинаковой вероятностью. Пространственная переменная Y(n) строится для положительных целых значений n суммированием W_i до n.

Покажите, что Y(n) не является стационарной функцией второго порядка, потому что ее дисперсия зависит от величины n, но что она удовлетворяет внутренней гипотезе. Покажите, что ее вариограмма линейна.