Непротиворечивость системы аксиом Пеано.

Система аксиом Пеано не является противоречивой, поскольку существует модель, на которой выполняются эти аксиомы.

Категоричность теории натуральных чисел.

Для доказательства категоричности достаточно показать, что две произвольные модели множества натуральных чисел изоморфны между собой.

Доказательство.

Рассмотрим две произвольные модели и . Пусть соответствие задано по следующим правилам:

1. ;

2. .

Покажем, что является биекцией. Тем самым и докажем изоморфизм моделей.

Всюду определенность (?)

. , т.к. . Покажем, что . . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .

Однозначность (?)

Покажем, что . Доказательство проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

, т.е. (?)

Предположим, что . , последнее противоречит 1 аксиоме Пеано. Таким образом, предположение неверно.

Индуктивное предположение :

.

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

Предположим, что .

.

Итак, доказано, что является отображением. Остается проверить сюръективность и инъективность . Для чего рассмотрим следующую систему множеств: , ,…, ,…, где . Докажем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по , что каждое из этих множеств непустое и одноэлементное, тем самым убедимся в сюръективности и инъективности , соответственно.

База индукции :

(?)

Очевидно, что , т.к. . Предположим, что .

. Последнее противоречит 1 аксиоме Пеано, следовательно, предположение неверно.

Индуктивное предположение :

.

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

. Предположим, что . Тогда . Возможны случаи:

§ . Последнее противоречит 1 аксиоме Пеано.

§

, что противоречит условию .

Таким образом, в обоих случаях получено противоречие, следовательно, предположение неверно.

что и требовалось доказать.