Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества.

Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.

Определение. Наибольшим элементом непустого подмножества линейно упорядоченного множества называется элемент такой, что .

Определение. Наименьшим элементом непустого подмножества линейно упорядоченного множества называется элемент такой, что .

Теорема 7.Любое непустое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент.

Доказательство.

Возможны случаи:

§ - наименьший элемент подмножества;

§ . Рассмотрим множество . , т.к.

. . Такой элемент обязательно найдется, т.к. в противном случае . Покажем, что наименьший в . . Предположим, что . Тогда . Последнее противоречит условию , следовательно, предположение неверно. Тогда такой, что . Таким образом, - наименьший в .

что и требовалось доказать.

Теорема 8.Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества натуральных чисел имеет наибольший элемент.

Доказательство.

Пусть ограничено сверху элементом , т.е. . Рассмотрим множество . , т.к. . Тогда, по теореме 3, имеет наименьший элемент , причем , т. к. в противном случае . По следствию 4) из аксиом Пеано, . Предположим, что , следовательно, . Последнее противоречит тому, что - наименьший в , а, значит, предположение неверно. Тогда . Таким образом, - наибольший в .

что и требовалось доказать.