ІІ и ІІІ формы метода математической индукции для натуральных чисел.

Теорема 9 (ІІ форма): Если утверждение о натуральных числах верно для 1 и для произвольного натурального числа , большего 1, из верности утверждения для всех натуральных чисел, меньших , следует верность утверждения для числа , то утверждение верно для каждого натурального числа.

Доказательство.

Предположим, что . Рассмотрим множество . , т.к. . Тогда, по теореме 3, имеет наименьший элемент , причем , . По следствию 4) из аксиом Пеано, , причем . , т.к. в противном случае, не будет наименьшим в . Тогда, согласно индуктивному предположению, , но это противоречит условию . Таким образом, предположение неверно, и .

что и требовалось доказать.

Теорема 10 (ІІІ форма): Если утверждение о натуральных числах верно для всех чисел некоторого непустого неограниченного сверху подмножества множества натуральных чисел и из верности утверждения для произвольного натурального числа следует верность утверждения для натурального числа , то утверждение верно для каждого натурального числа.

Доказательство.

Предположим, что . Рассмотрим множество . , т.к. . Также ограничено сверху любым элементом из . Тогда, по теореме 4, имеет наибольший элемент , причем . Рассмотрим элемент . , т.к. в противном случае, не будет наибольшим в . Согласно индуктивному предположению, , но это противоречит условию . Таким образом, предположение неверно, и .

что и требовалось доказать.