Независимость аксиом Пеано.
Множество натуральных чисел.
Определение. Натуральными числами назовем элементы множества N, в котором выделен элемент и определено отображение ( -следующий за , удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. (1 не следует ни за каким натуральным числом);
2. (инъективность);
3. .
Аксиомы 1-3 будем называть аксиомами Пеано.
Следствия из аксиом Пеано:
1) (однозначность).
2) .
Доказательство. Предположим, что . Тогда, по аксиоме 2, . Поучили противоречие с условием , следовательно, предположение ложно.
3) .
Доказательство. Пусть . , т.к. . Покажем, что . . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .
4) .
Доказательство. Пусть . , т.к. . Покажем, что . . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .
5) І форма метода математической индукции для множества натуральных чисел: Если утверждение о натуральных числах верно для 1 и из истинности этого утверждения для всякого числа следует истинность его для , то справедливо для каждого натурального числа.
.
Доказательство. Пусть . , т.к. . Из условия теоремы имеем, что . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .
Независимость аксиом Пеано.
Для доказательства независимости каких-либо двух аксиом от третьей достаточно построить модель теории, в которой указанные две выполняются, а третья – нет.
Доказательство.
Построим модель теории, в которой
1) выполняются аксиомы 2 и 3, а 1-нет.
Очевидно, что 1 аксиома не выполняется, т.к. 1 следует за 1''.
2) выполняются аксиомы 1 и 3, а 2-нет.
Аксиома 2 не выполняется, т.к. .
3) выполняются аксиомы 1 и 2, а 3-нет.
Аксиома 3 не выполняется, т.к.
.
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 149;