Независимость аксиом Пеано.

Множество натуральных чисел.

Определение. Натуральными числами назовем элементы множества N, в котором выделен элемент и определено отображение ( -следующий за , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. (1 не следует ни за каким натуральным числом);

2. (инъективность);

3. .

Аксиомы 1-3 будем называть аксиомами Пеано.

Следствия из аксиом Пеано:

1) (однозначность).

2) .

Доказательство. Предположим, что . Тогда, по аксиоме 2, . Поучили противоречие с условием , следовательно, предположение ложно.

3) .

Доказательство. Пусть . , т.к. . Покажем, что . . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .

4) .

Доказательство. Пусть . , т.к. . Покажем, что . . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .

5) І форма метода математической индукции для множества натуральных чисел: Если утверждение о натуральных числах верно для 1 и из истинности этого утверждения для всякого числа следует истинность его для , то справедливо для каждого натурального числа.

.

Доказательство. Пусть . , т.к. . Из условия теоремы имеем, что . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .

Независимость аксиом Пеано.

Для доказательства независимости каких-либо двух аксиом от третьей достаточно построить модель теории, в которой указанные две выполняются, а третья – нет.

Доказательство.

Построим модель теории, в которой

1) выполняются аксиомы 2 и 3, а 1-нет.

Очевидно, что 1 аксиома не выполняется, т.к. 1 следует за 1''.

2) выполняются аксиомы 1 и 3, а 2-нет.

Аксиома 2 не выполняется, т.к. .

3) выполняются аксиомы 1 и 2, а 3-нет.

Аксиома 3 не выполняется, т.к.

.