Связь вектора напряжённости силового поля и разности потенциалов. Понятие о градиенте скалярной функции координат
Так как элементарная работа ,а , то получаем:
или .Учтём, что напряжённость гравитационного поля. Тогда последнее соотношение примет вид: .
.
В векторном анализе вектор с компонентами называется градиентом функции и обозначается либо (градиент ), либо символом («набла»), называемом так же оператором Гамильтона[15] (гамильтонианом).
Используя эти обозначения, можно записать:
или .
Напряжённость силового поля равна градиенту потенциала данной точки поля со знаком минус.
Знак «минус» в вышеприведённых формулах означает, что вектор напряжённости силового поля направлен в сторону убывания потенциала
Связь между и можно также представить в виде:
,
где –угол между векторами и ; ; –проекция вектора на направление вектора .
Понятие о «потенциальной яме»
«Потенциальной ямой» называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы меньше некоторого значения .
Термин «потенциальная яма» происходит от вида графика, изображающего зависимость потенциальной энергии частицы в силовом поле от её положения в пространстве (в случае одномерного движения от координаты ;(рис.56). Такая зависимость возникает в поле сил притяжения.
Рис.56. Схематическое изображение одномерной потенциальной ямы . Полная энергия частицы – сохраняющаяся величина, поэтому изображена на графике горизонтальной линией. |
В частности, при и имеется потенциальная яма бесконечной глубины.
Примером потенциальной ямы может служить потенциал притяжения между протоном и нейтроном, экспоненциально убывающий с увеличением расстояния между ними.
В классической механике частица с энергией не сможет вылететь из потенциальной ямы и будет всё время двигаться в ограниченной области пространства внутри ямы (между двумя классическими точками остановки ).
Положение частицы на «дне» ямы отвечает устойчивому равновесию и соответствует нулевой кинетической энергии частицы. Если , то частица преодолевает действие сил притяжения и свободно покидает яму. Пример – движение упругого шарика, находящегося в поле сил земного притяжения, в обычной яме с жёсткими пологими стенками.
В квантовой механике, в отличие от классической, энергия частицы, находящейся в связанном состоянии в потенциальной яме может принимать лишь определённые дискретные значения, т. е. существуют дискретные уровни энергии. Однако такая дискретность уровней становится заметной лишь для систем, имеющих микроскопические размеры и массы.
Если в потенциальную яму попала частица, энергия которой ниже, чем необходимая для преодоления краёв ямы, то возникнут колебания частицы в яме. Амплитуда колебаний будет обусловлена собственной энергией частицы. Частица, находящаяся на дне потенциальной ямы, пребывает в состоянии устойчивого равновесия, то есть при отклонении частицы от точки минимума потенциальной энергии возникает сила, направленная в противоположную отклонению сторону. Потенциальная яма, удовлетворяющая условию:
при ; и при ,
называется одномерной потенциальной ямой бесконечной глубины с плоским дном или «потенциальным ящиком» (рис. 57).
Рис. 57. |
Понятие о «потенциальном барьере»
Потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область высокой потенциальной энергии частицы в силовом поле, по обе стороны которой потенциальная энергия более или менее резко спадает.
Потенциальный барьер соответствует силам отталкивания.
Рис. 58. |
На рис. 58 изображен потенциальный барьер простой формы для случая одномерного (по оси )движения частицы. В некоторой точке потенциальная энергия принимает максимальное значение ,называется высотой потенциального барьера. Потенциальный барьер делит пространство на две области (I и II), в которых потенциальная энергия частицы меньше, чем внутри потенциального барьера (в области III).
В классической механике прохождение частицы через потенциальный барьер возможно лишь в том случае, если её полная (кинетическая + потенциальная) энергия превышает высоту потенциального барьера. Если ; тогда частица пролетает над барьером.Если же энергия частицы недостаточна для преодоления барьера, ,то в некоторой точке частица, движущаяся слева направо, останавливается и затем движется в обратном направлении.
То есть потенциальный барьер является как бы непрозрачной стенкой, барьером, для частиц с энергией, меньшей высоты потенциального барьера – отсюда название «потенциальный барьер».В квантовой механике, в отличие от классической, возможно прохождение через потенциальный барьер частиц с энергией (это явление называется «туннельным эффектом») и отражение от потенциального барьера частиц с . Такие особенности поведения частиц в квантовой физике непосредственно связаны с корпускулярно – волновой природой микрочастиц.
Рис. 59. |
На рис. 59 изображён простейший одномерный потенциальный барьер прямоугольной формы.
Поле центральных сил
Центральной силой называется приложенная к телу сила, линия действия которой при любом положении тела проходит через некоторую определённую точку, называемую центром силы.
Рис. 60. Движение двух тел вокруг центра масс . |
Примером центральных сил являются сила тяготения, направленная к центру планеты, кулоновские силы электростатического притяжения и отталкивания и др. (рис. 60).
Центральная сила зависит только от расстояния между взаимодействующими частицами: .
Рис. 61. |
М |
Рассмотрим работу при перемещении материальной точки в поле центральных сил (рис. 61): точка – силовой центр.
Элементарная работа по перемещению точки М в поле центральных сил:
.
Работа перемещения точки на конечном участке траектории 1 – 2:
, (1)
где первообразная функции .
Значение определённого интеграла в формуле (1) зависит только от расстояний и точек 1 и 2 до силового центра , но не зависит от формы пути, по которому материальная точка М перешла из положения 1 в положение 2.
Таким образом, поле центральных сил – поле потенциальное, а центральные силы – консервативные.
Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии: , т.е.
.(2)
Проинтегрировав (2), получим: ,т.е. потенциальная энергия частицы, находящейся в поле центральных сил, зависит только от расстояния до силового центра: .
Особый интерес представляют силы, обратно пропорциональные квадрату расстояния до силового центра (гравитационные, электростатические силы). Для них функция имеет вид: , где –постоянная величина ( при отталкивании от центра; –в случае притяжения к центру).
Проинтегрировав последнюю формулу, получим: .
Потенциальную энергию на бесконечности считают равной нулю, следовательно: . Так в случае гравитационного поля: ,получаем: –потенциальная энергия частицы массой в гравитационном поле планеты массой .
Дата добавления: 2016-09-26; просмотров: 1946;