Модель параметрического отказа при одном параметре, характеризующем работоспособность объекта.

Рассмотренные процессы накопления повреждений (п. п. 2.1 – 2.2) в общем случае на участке нормального износа аппроксимируются линейными случайными функциями вида:

(2.55)

где - начальное значение износа (после этапа I приработки) и - скорость накопления износа или повреждений ( и - независимые случайные величины).

Математическое ожидание линейной случайной функции (2.54) с учетом рис.2.2 и 2.3 имеет вид [2-5]:

. (2.56)

Случайные вариации отражают различие исходных свойств объекта, обуславливающих различные скорости износа или разрегулировки (достижения границы R поля допуска).

Уравнения (2.55) и (2.56) описывают процесс линейного износа на II этапе установившегося или нормального износа (то есть на интервале [t₁, t₂], как это показано на рис.2.3). При этом предполагается, что объект прошел этап приработки I.

Распределения случайных величин и определяются типом объекта, условиями его производства и функционирования и зависят от множества случайных факторов, каждый из которых вносит свой вклад в скорость износа или разрегулирования. Если влияние каждого из этих факторов имеет примерно одинаковый порядок, то можно считать, что применительно к рассматриваемой задаче случайные величины и подчинены усеченному нормальному закону распределения [2-7,14-17].

Из сказанного выше и линейности формул (2.55) и (2.56) следует, что случайная величина износа или разрегулирования (2.55) также имеет нормальное распределение с числовыми характеристиками [2-5,14]:

; (2.57)

(2.58)

поскольку суммирование случайных величин, подчиненных нормальным законам распределения, дает случайную величину , также подчиненную нормальному закону распределения [2-5].

При известном значении R предельно допустимого уровня линейного износа или разрегулирования вероятность того, что к моменту времени t отказ не наступит с учетом формул (2.57) и (2.58) может быть определена следующим образом:

, (2.59)

а вероятность того, что к моменту времени t наступит параметрический отказ, примет вид [2-5,14-19]:

(2.60)

Полученное выражение (2.60) представляет собой функцию трехпараметрического дисперсионного распределения Бернштейна с параметрами [2-6,8,9]:

. (2.61)

С учетом (2.61) распределение (2.60) принимает окончательный вид:

, (2.62)

где Ф₀ - функция (интеграл) Лапласа [2-9].

Частным случаем процесса (2.58) является простой процесс вида: , (2.63)

где ; - начальное значение износа, представляющее собой нормально распределенную случайную величину.

Реализация этого процесса (2.63) также описывается распределением Бернштейна и представлена на рис.2.7.

Рис.2.7. Реализация функции случайной величины вида при одной неслучайной (верхней) границе R поля допуска.

В этом случае параметры распределения Бернштейна (2.60) составят:

,

поскольку

Процессы вида (2.63) хорошо описывают процессы разрегулирования значений определяющих параметров объекта, когда перед началом функционирования объекта регулируемый определяющий параметр имеет случайное распределение. Однако при дальнейшей эксплуатации объекта этот параметр изменяется детерминировано по линейному закону. Причем все реализации процесса (2.63) представляют собой линии параллельные средней реализации процесса износа, которая на рис.2.7 выделена более яркой линией. Положение каждой реализации зависит от одной случайной величины – начального значения износа (2.63).

Еще одним частным случаем процесса (2.55) является процесс, описываемый веерной функцией вида (рис. 2.7):

. (2.64)

В этом случае параметры (2.61) распределения Бернштейна (2.57) составят:

(2.65)

Процессы вида (2.64) хорошо описывают процессы разрегулирования определяющих параметров объекта, когда перед началом функционирования объекта его регулируемый определяющий параметр устанавливается равным некоторому номинальному значению a. При дальнейшей эксплуатации объекта этот параметр случайно изменяется. Причем все реализации процесса (2.64) проходят через одну неслучайную точку a (рис.2.8), называемую полюсом. Положение каждой реализации зависит от одной случайной величины - скорости изменения параметра .

полюс

x2(t)

t

Рис.2.8. Линейные реализации процесса износа (разрегулирования) вида .

Положение каждой реализации зависит от одной случайной величины – скорости изменения параметра , тогда время достижения процессом (2.64) границы R поля допуска будет равно:

. (2.66)

Время (2.66) характеризует момент наступления отказа вследствие накопления допустимого числа повреждений (износа) или разрегулирования.

В формуле (2.66) случайная величина является функцией случайного аргумента , характеризующего скорость изменения параметра, имеющего, как правило, усеченное нормальное распределение [10-15]:

, , (2.67)

где С₁ - нормирующий множитель [11-15],

;

- математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины ;

, - значения нижней и верхней границ скорости изменения параметра .

Как следует из (2.64), случайная величина является функцией случайного аргумента , тогда

С учетом плотности (2.67) и формулы (2.66) плотность распределения случайной величины будет иметь вид [2,5,14-18]:

(2.68)

откуда

(2.69)

при

где - среднеквадратическое отклонение случайной величины .

С учетом новых обозначений

распределение (2.80) примет вид:

, (2.70)

где - характеризует относительный запас работоспособности объекта и имеет размерность наработки (времени), - безразмерный коэффициент, характеризует относительную среднюю скорость изменения контролируемого параметра , т.е. выработки имеющегося запаса работоспособности.

Распределение (2.70) называется альфа-распределением [2-5,15]. Оно описывает модели отказов из-за разрегулирования, а также из-за выхода параметра объекта за пределы поля допуска. В общем случае альфа-распределение характеризует процесс приближения объекта к рассматриваемому предельному состоянию, например, определяемому границей поля допуска R.

Тогда с учетом плотности (2.70) вероятность сохранения объекта в пределах допуска к моменту времени составит:

(2.71)

Таблицы функций альфа-распределения представлены в литературе [2-5,15].

С помощью формул (2.70) и (2.71) также может быть оценено время выполнения различных работ. В этом случае параметр (2.64) представляет собой производительность труда (скорость выполнения работ) [15], например, при ликвидации неисправности или отказа.