Поле однопроводной линии и земли

Пусть имеется двухпроводная линия, составленная их двух цилиндрических проводов с одинаковыми радиусами R при расстоянии 2Н между центрами проводов и напряжением между проводами U. При решении задачи о поле двух параллельных осей в §2.12 было найдено, что эквипотенциальные поверхности представляют собой окружности на плоскости, перпендикулярной осям, т.е. цилиндры в пространстве. Задача о поле двухпроводной линии сводится, таким образом, к обратной задаче §2.12. Там было дано положение заряженных осей, а мы находили радиус цилиндрических поверхностей R и координату центра окружности (оси цилиндра) х₀. В этом же параграфе дан радиус цилиндров R и расстояние между центрами окружностей 2х₀, обозначаемое как 2Н и нужно найти положение эквивалентных нитей (электрических осей проводов). Перенесение заряда с поверхности цилиндров на электрические оси проводов не меняет картину поля. Для нахождения положения электрических осей h можно воспользоваться формулой (2.48), заменив в ней х₀ на Н:

(2.55)

Потенциалы проводов определяются по формуле (2.50):

Напряжение между проводами равно:

(2.56)

Емкость на единицу длины линии без учета влияния земли определится выражением:

(2.57)

При H >> R (справедливо для воздушных линий) значение k стремится к бесконечности, а х₀, которое в этом параграфе обозначается символом Н, стремится к h (h » H). В этом случае емкость будет иметь вид:

(2.58)

Расчет напряженности в произвольной точке проводится по формуле (2.51), в которой величина линейной плотности заряда определяется из (2.56). Напряженность поля на поверхности проводов определяется выражением:

, (2.59)

где j - угол между осью х и радиус-вектором, проведенным из центра провода в точку М на поверхности провода. Наибольшая напряженность будет при j = 180°, т.е. на ближайшей к противоположному проводу точке поверхности.

Для расчета поля однопроводной линии и земли применим метод отражения. Заметим, что плоскость отражения (ось у рис.2.11) является эквипотенциальной поверхностью. Если принять эту плоскость за поверхность земли, то задача сводится к задаче о двухпроводной линии, рассмотренной выше в этом параграфе. Пусть дана однопроводная линия с проводом радиуса R, находящаяся под потенциалом U и на расстоянии Н между центром провода и землей. Очевидно, что заряд–изображение будет иметь радиус R, находится под потенциалом –U, а расстояние между его центром и землей равно Н. Как и рассмотрено выше, первый шаг заключается в нахождении расстояния от земли до электрических осей провода (h) и его изображения. В отличие от двухпроводной линии, где разность потенциалов между проводами принималась равной U, в задаче об одиночном проводе над землей разность потенциалов между проводом и проводом-изображением вдвое больше и равна 2U. В связи с этим емкость провода на единицу длины одиночной линии над землей вдвое больше, чем для двухпроводной линии:

(2.60)

Максимальная напряженность также будет вдвое больше в ближайшей к земле точке провода, т.е. при j=180°:

(2.61)

Вектор напряженности всюду нормален поверхности земли. Определив в произвольной точке поверхности напряженность по формуле (2.51) и учитывая определение электрического смещения, можно определить плотность наведенных на поверхности земли зарядов. В (2.51) а₁=а₂, b₂=p-b₁, т.е. второй член обращается в нуль. Обозначая расстояние между проекцией провода на землю и искомой точкой символом у, получим:

(2.62)