Язык логики высказываний

Логика высказываний была построена в 1879 г. немецким учёным Фреге, хотя её предшественниками следует считать представителей мегарской школы, возникшей в 4 в. до н. э. в рамках древнегреческой философии. Вслед за мегариками основные её идеи разрабатывались стоиками, школа которых существовала ещё во времена Римской империи. В средние века им трудно было конкурировать с логикой Аристотеля, опиравшейся на поддержку католической церкви. Поэтому логика высказываний стала привлекать внимание исследователей только с 17 в., когда на волне нарождавшегося капитализма началось интенсивное развитие математики и естествознания. Но потребовалось ещё два столетия, чтобы она превратилась в самостоятельную область логических исследований, специфика которой находит своё выражение в её языке и используемых методах.

Язык логики высказываний характеризуется словарём, т. е. перечнем исходных символов, а также понятием осмысленного выражения (или формулы). Словарь языка логики высказываний включает в себя бесконечное множество пропозициональных переменных

p, q, r, … ,

принимающих значения на множестве высказываний, и особые символы для пропозициональных связок: ~ – отрицание, – конъюнкция, – дизъюнкция и – импликация. В качестве технических выражений используются скобки, которые играют роль знаков препинания обычного языка.

Для того чтобы проиллюстрировать значение скобок в языке логики высказываний, обратимся к следующему примеру. Предположим, что нам надо записать символически высказывание «Я пойду домой или останусь здесь и буду её ждать». Пытаясь уяснить смысл этого высказывания, мы приходим к выводу, что оно допускает двоякое истолкование. Первое из этих истолкований заключается в том, что мы имеем дело с дизъюнкцией, дизъюнктами которой являются высказывания «Я пойду домой» (p) и «Я останусь здесь и буду её ждать» (q r). Второе истолкование сформулированного нами высказывания заключается в том, что мы имеем дело не с дизъюнкцией, а с конъюнкцией, конъюнктами которой являются высказывания «Я пойду домой или останусь здесь» (p q) и «Я буду её ждать» (r). Как видно, различие между двумя истолкованиями нашего высказывания существенно. Однако без использования скобок его выразить просто невозможно, поскольку в обоих случаях мы получаем одну и ту же формулу: p q r. Расставив скобки, мы получим уже две различные формулы:

p (q r)

и

(p q) r.

Таким образом, скобки позволяют нам более точно выразить тот смысл, который мы вкладываем в выражения языка логики высказываний.

Понятие формулы в логике высказываний определяется следующим образом:

· пропозициональная переменная является формулой;

· если A – формула, то ~ A также является формулой;

· если A и B – формулы, то A B, A B и A B также являются формулами.

В отличие от пропозициональных переменных p, q, r, … , обозначающих конкретные высказывания, буквы A и B в определении формулы логики высказываний обозначают произвольные высказывания. Так, частным случаем схемы A B является не только высказывание p q, но и высказывания p ~ q, ~ p q, (p q) (q r) и т. д. Все эти высказывания объединяет то, что главной связкой в них является конъюнкция, т. е. при их построении она применялась последней.

Формулы логики высказываний, образованные из переменных и связок с возможным использованием скобок, обозначают высказывания, которым в естественном языке соответствуют предложения как их материальная оболочка. Так, если переменной p придать значение «Народ недоволен», переменной q – значение «Растёт инфляция», а переменной r – значение «Жизненный уровень падает», то формула p (q r) будет обозначать высказывание «Если народ недоволен, то растёт инфляция или жизненный уровень падает», формула (q r) p – высказывание «Если растёт инфляция и жизненный уровень падает, то народ недоволен», формула ~ q ~ p – высказывание «Если инфляция не растёт, то неверно, что народ недоволен» и т. д. Придавая переменным p, q и r иные значения (например, p – «Правительство проводит правильный экономический курс», q – «Рубль укрепляется», а r – «Инфляция падает»), мы получим другие переводы этих формул на обычный язык.