Рекурсивные цифровые фильтры


 

Возможности нерекурсивного цифрового фильтра существенно расширяются при введении в его схему обратных связей, которые позволяют формировать k-й выходной отсчет путем использования предыдущих значений как входного, так и выходного дискретных (выраженных в цифровой форме) сигналов

yk = a0uk + a1uk-1 + a2uk-2 + ...+ amuk-m + b1 yk-1+ b2 yk-2+...+ bn yk-n (10.6)

 

Здесь коэффициенты а0, а1, а2,..., аm, как и в(10.1), характеризуют нерекурсивную часть, а коэффициенты b1, b2, ..., bn – рекурсивную часть алгоритма цифровой фильтрации, причем последние не равны нулю одновременно. Порядок такого цифрового фильтра определяется коэффициентом m нерекурсивной части алгоритма обработки. Структурная схема цифрового рекурсивного фильтра показана на рис. 10.6.

 

Системную функцию рекурсивного фильтра определим, применив z-преобразование к обеим частям выражения (10.2).

 

. (10.7)

 

Пример 10.2. Вычислить импульсную характеристику рекурсивного цифрового фильтра, описываемого разностным уравнением 1-го порядка

hk = 0.5yk-1+ uk

 

Р е ш е н и е. Пусть y-1 = 0, uk = δk (первое равенство очевидно в силу условия физической реализуемости; второе – сигнал на входе при определении импульсной характеристики). Тогда выходной сигнал фильтра yk представляет его импульсную характеристику hk, или yk = hk = 0,5 hk + δk. Здесь δk = 1; 0; 0, ... . Из этих выражений следует, что

h0 = 0.5h-1 + δ0 = 1; h1 = 0,5 h0 + δ1 = 0,5; h2 = 0,5 h1 = 0.25. Если иначе

hk = (0,5)k.

Основное достоинство рекурсивных фильтров – существенное сокращение числа элементов по сравнению с их числом в нерекурсивных фильтрах, выполняющих те же операции. Это позволяет реализовать цифровые фильтры с импульсными характеристиками, имеющими теоретически бесконечное число отсчетов (рис. 10.3, б). Поэтому в радиотехнике рекурсивные цифровые фильтры получили название фильтров с бесконечными импульсными характеристиками (БИХ-фильтров).

ПРИМЕР 10.3. Построить цифровой фильтр, соответствующий аналоговой цепи в виде колебательного контура, имеющему импульсную характеристику

h(t) = e-atcosω0t

 

Р е ш е н и е. Импульсная характеристика цифрового фильтра будет представлена следующим образом

 

 

Системная функция, соответствующая этой импульсной характеристике такова:

 

Здесь а0 = 1, а1-а∆tcosω0∆t, b1= 2 е-а∆tcosω0∆t, b2=- е-2а∆t.

 

Данной системной функции отвечает уравнение:

 

Схема рекурсивного фильтра, соответствующего этому алгоритму, показана на рис.10.7

 

 

10.5. Канонические схемы рекурсивных фильтров.

 

Недостаток рекурсивных фильтров, реализуемых по алгоритму (10.6), -- достаточно большое количество ячеек памяти, применяемых для рекурсивной и нерекурсивной частей. Уменьшить число ячеек позволяют канонические (в смысле оптимальности реализации) схемы рекурсивных фильтров, в которых каждый элемент задержки используется для цепей как нерекурсивной, так и рекурсивной связей. В канонических схемах количество элементов задержки всегда равно наибольшему из числа m и n.

Цифровой рекурсивный фильтр, соответствующий алгоритму обработки дискретного сигнала типа (10.7) может быть реализован в виде другой, эквивалентной схемы. Уравнение (10.7) можно представить иначе:

 

(10.8)

 

Представим формулу (10.8) как:

 

, ....................................(10.9)

где (10.10)

 

Алгоритм (10.8) определяет структуру построения нерекурсивного фильтра m –го порядка. Преобразование, соответствующее функции V(z) и заданное (10.9), осуществляется с помощью рекурсивного фильтра n-го порядка. Итак, общая схема рекурсивного фильтра включает в себя две части – нерекурсивную с коэффициентами аm и рекурсивную с коэффициентами bn (Рис. 10.8). Дублирующие элементы схемы на рисунке. 10.8 можно

 

объединить. Полученную схему фильтра называют канонической (рис. 10.9).

 

ПРИМЕР 10.4. Составить структурную схему канонического рекурсивного фильтров 2-го порядка, описываемого системной функцией вида

 

 

Р е ш е н и е. Схема изображена на рис. 10.10.

 

 

 



Дата добавления: 2020-12-11; просмотров: 399;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.011 сек.