Нерекурсивные цифровые фильтры

В нерекурсивных, или трансверсальных (от англ. transverse – поперечный – с точки зрения структуры их графического построения), цифровых фильтрах отклик зависит только от значений входной последовательности a₀ и для формирования k-го выходного отчета используются лишь предыдущие значения входных отчетов. Такие фильтры обрабатывают входной дискретный сигнал {u_k} в соответствии с алгоритмом:

y_k = a₀u_k +. a₁u_k-1 + a₂u_k-2 +... + a_mu_k-m, (10.3)

где – a₀, a₁, a₂, ... a_m действительные постоянные («весовые») коэффициенты; m – порядок нерекурсивного фильтра, т.е. максимальное число запоминаемых чисел (Рис. 10.5)

Основой любого цифрового фильтра являются элементы задержки входной цифровой последовательности {u_k} на интервал дискретизации Z^-1, (задержка сигнала на интервал ∆t в общепринятых символах z-преобразования), а также масштабные (весовые ) блоки a_m, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. Часто, и по существу, элементы задержки называют ячейками памяти. Сигналы с масштабных блоков поступают в сумматор «+», на выходе которого образуется последовательность отсчетов выходного сигнала {y_k}.

При этом формулы (10.1) и (10.3) тождественны и коэффициенты a₀, a₁, a₂, ... a_m совпадают с соответствующими отчетами импульсной характеристики цифрового фильтра h₀, h₁, h₂, ... h_m.

Пример 10.1. Импульсная характеристика нерекурсивного цифрового фильтра представлена формулой:

Определить алгоритм работы фильтра.

Р е ш е н и е. Подставив в формулу (10.1) соответствующие отсчеты h_k, получим искомый алгоритм:

y_k = u_k ·1 + u_k-1 ·1 + u_k-2 ·1 + u_k-3 ·0 = u_k + u_k-1 + u_k-2.

Нерекурсивный цифровой фильтр может быть практически реализован, если заданная импульсная характеристика содержит ограниченное число отсчетов. Для получения же импульсной характеристики с большим числом членов требуется много ячеек памяти. В связи с этим нерекурсивные цифровые фильтры, как устройства, содержащие конечное число отсчетов импульсной характеристики, принято называть фильтрами с конечными импульсными характеристиками (КИХ-фильтрами). Примерный вид импульсной характеристики цифрового фильтра с конечным числом отсчетов показан на рис. 10.3, а.

Системную функцию нерекурсивного цифрового фильтра определим, применив z-преобразование к обеим частям уравнения (10.2):

Y(z) = (a₀ + a₁ z^-1 + a₂z^-2+ ... a_m z ^–m) U(z). (10.4)

Отсюда находим, что системная функция имеет вид:

, (10.5)

и является дробно-рациональной функцией переменной z.