Глава 4. Матрицы и дифференциальные уравнения

Теория матриц является эффективным средством исследования и решения дифференциальных уравнений. Среди них наиболее простыми являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, к которым приводятся многие задачи физики и техники. Здесь рассматриваются только такие уравнения, и для краткости будем называть их просто дифференциальными уравнениями. Дифференциальное уравнение первого порядка, относительно неизвестной функции имеет вид

,

где – постоянный коэффициент; – непрерывная функция времени, определенная на некотором интервале . Решением уравнения является функция , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. При уравнение называется однородным и его общее решение выражается как , где – произвольная постоянная. Общее решение исходного неоднородного уравнения ( ) выражается формулой


.

Это решение представляет собой сумму общего решения однородного и частного решения неоднородного дифференциальных уравнений. Оно удовлетворяет начальному условию при , т. е.

.

Переходя к системам дифференциальных уравнений, рассмотрим их представление в нормальной форме:

,

к которой, как известно, можно привести любую систему линейных дифференциальных уравнений. В матричной записи эта система представляется одним уравнением

,

где – вектор (столбец) неизвестных функций ; – вектор (столбец) задающих функций и – квадратная матрица постоянных коэффициентов :

; ; .

Задачу об отыскании решения системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным значениям скаляра и вектора , называют задачей Коши. По аналогии с дифференциальным уравнением первого порядка можно записать искомое решение для вектора неизвестных функций в виде: .

Необходимо установить допустимость такого представления решения, а также выяснить смысл и способы определения входящей в него матрицы .

В матричной форме нормальная однородная система дифференциальных уравнений ( ) имеет вид: . Будем искать ее решение в виде где вектор (столбец) произвольных постоянных. Подставляя в исходное уравнение, получаем или после сокращения на скаляр и перенесения в левую часть равенства: . Заметим, что сокращать на вектор нельзя, так как операция деления на вектор в общем случае не имеет смысла. Вынося за скобки вектор , необходимо умножить предварительно на единичную матрицу . Уравнение имеет нетривиальные решения при условии, что определитель матрицы обращается в нуль, т. е. или

.

Так как порядок матрицы равен , то является многочленом -й степени относительно , т. е. . Корни уравнения (нули многочлена ), число которых равно , дадут значения при которых исходная система имеет нетривиальные решения. Рассмотрим наиболее простой случай, когда все корни уравнения простые (попарно различные). Тогда при имеем однородное уравнение , из которого можно определить вектор .Таким образом, решение нормальной системы дифференциальных уравнений, соответствующее корню , будет . Всего получим таких решений, соответствующих корням .

Для любой квадратной матрицы по установившейся терминологии называется характеристической матрицей, а – характеристическим уравнением. Корни уравнения называются собственными значениями (характеристическими числами), а векторы собственными векторами матрицы . Совокупность собственных значений называется спектром матрицы .

Множество всех решений однородной системы дифференциальных уравнений образует -мерное линейное пространство с базисом . Общее решение имеет следующий вид:

.

Это выражение может быть представлено в матричной форме

.

В свою очередь матрица выражается следующим образом

.

Здесь через обозначена матрица -го порядка, называемая модальной и состоящая из столбцов , а элементами диагональной матрицы являются экспоненциальные функции .

Итак, решение нормальной однородной системы линейных дифференциальных уравнений представляется в виде .

При матрица равна единичной матрице, следовательно, начальное условие , откуда . Подставляя это значение в общее решение, получаем . Матрица -го порядка называется фундаментальной матрицей. Ее вычисление сводится к определению собственных значений и собственных векторов матрицы системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим в качестве примера однородную систему дифференциальных уравнений:

.

Для этой системы

; .

Поскольку для вычисления необходимы алгебраические дополнения какой-либо строки матрицы , то определитель этой матрицы удобно получать разложением по элементам той же строки.

Алгебраические дополнения элементов первой строки:

;

;

.

Характеристический многочлен и собственные значения:

;

; ; .

Собственные векторы : ; ; .

Принимая (эти значения произвольны и выбираются по соображениям удобства), получаем модальную матрицу, а также обратную к ней:

;

Фундаментальная матрица

,

что после перемножения матриц приводит к следующему результату

.

Таким образом, в соответствии с соотношением общее решение рассматриваемой однородной системы дифференциальных уравнений:

,

где элементы вектора , равные начальным значениям соответствующих переменных при .

Выясним характер фундаментальной матрицы . Подставляя решение в однородное дифференциальное уравнение , получаем тождества:

; .

Так как в этих тождествах – вектор начальных значений не зависящий от времени, то , т. е. – это такая матрица, производная которой по времени равна произведению матрицы на саму матрицу. Аналогичными свойствами обладает единственная скалярная функция , поэтому по аналогии можно записать следующие соотношения:

.

Через экспоненциальную функцию выражаются также другие функции от матриц:

Следует иметь в виду, что , а соотношение имеет смысл только в случаях, когда и – перестановочные матрицы.

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений может быть записано в матричной форме , где – векторная функция времени, подлежащая определению. Подставляя выражение для и ее производной в исходное уравнение, имеем:

или после очевидных упрощений

.

При начальных условиях начальное значение искомой функции . Интегрированием получаем

.

Используя это выражение, находим решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальному условию :

,

которое называется формулой Коши. Его можно рассматривать как сумму решения соответствующего однородного уравнения (при ) и решения неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях ( ).

Пусть дана неоднородная система дифференциальных уравнений в нормальной форме:

.

Для этой системы:

; ; ;

;

.

Полагая для удобства , находим модальную матрицу и обратную к ней матрицу :

,

после чего определяется фундаментальная матрица:

.

Решение задачи Коши для однородной системы:

.

Найдем интеграл в выражении для частного решения неоднородной системы при :

Частное решение неоднородной системы:

.

Таким образом, решение неоднородной системы, удовлетворяющей начальным условиям , запишется следующим образом:

.

Контрольные вопросы к лекции 12

12-1. Как записывается система уравнений в матричном виде?

12-2. Как решается матричное уравнение ?

12-3. Что представляет собой определитель матрицы?

12-4. Как вычисляется определитель второго порядка?

12-5. Как вычисляется определитель третьего порядка?

12-6. В чем состоит свойство антисимметрии определителя?

12-7. В каком случае определитель равен нулю?

12-8. Как изменяется определитель матрицы -го порядка при умножении ее на скаляр?

12-9. Как вычисляется алгебраическое дополнение?

12-10. Как вычисляется обратная матрица?

12-11. Опишите алгоритм вычисления обратной матрицы методом исключения.

12-12. Какие матрицы называются особенными?

12-13. Для каких матриц существуют обратные матрицы?

12-14. Какая матрица называется инволютивной?

12-15. Что называется рангом матрицы?

12-16. Что называется дефектом матрицы?

12-17. Какая система уравнений называется совместной?

12-18. В чем состоит суть теоремы Кронекера – Капелли?

12-19. Какая система уравнений называется неопределенной?

12-20. Опишите алгоритм Гаусса для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?

12-21. Опишите алгоритм Гаусса – Жордана для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?

12-22. Какая система уравнений называется однородной?

12-23. Как определяется характеристическая матрица для квадратной матрицы ?

12-24. Как определяется характеристическое уравнение?

12-25. Что называется характеристическими числами квадратной матрицы ?

12-26. Что называется спектром квадратной матрицы ?

12-27. Какая матрица называется модальной?

12-28. Какая матрица называется фундаментальной?

12-29. Что представляет собой решение неоднородного дифференциального уравнения в форме Коши?