Глава 4. Алгебра предикатов

Обычно высказывания выражают свойства одного или нескольких объектов. Содержательная часть высказывания играет роль определяющего свойства совокупности объектов, для которых это высказывание истинно, и называется предикатом.

В то время как логика высказываний проявляет интерес только к логической связи между предложениями, логика предикатов проникает и в структуру самих предложений в смысле связи того, о ком или о чем идет речь (субъект) с тем, что говорится о данном предмете (предикат). Поэтому язык логики предикатов лучше приспособлен для выражения логических связей между различными понятиями и утверждениями.

Например, высказывание «Иванов – отличник» истинно или ложно в зависимости от оценок, которые имеет данный студент. В то же время предикат « – отличник» определяет подмножество отличников на некотором множестве студентов (группа, курс, факультет). Подставив вместо фамилии студентов, получим множество высказываний. Совокупность истинных высказываний и будет соответствовать подмножеству отличников.

Предикат представляет собой логическую функцию , принимающую, как и булевы функции, значение 0 или 1, но в отличие от них, значения аргумента выбираются из некоторого множества объектов ( ). В общем случае такая функция может зависеть от многих аргументов , принимающих значения из одного и того же или различных множеств. Ее записывают и называют -местным предикатом.

Аргументы называются предметными переменными. Конкретные значения аргументов называют предметными постоянными. Предметные переменные и предметные постоянные образуют класс логических понятий, называемых термами.

Например: « – четное число», « – компонент цепи» являются одноместными предикатами ; « брат », « меньше » – двуместные предикаты ; « и – родители », « – сумма и » – трехместные предикаты и т. д. Если все аргументы замещены конкретными значениями (объектами), то предикат переходит в высказывание, которое рассматривают как -местный предикат.

Так как предикаты способны принимать только значения 0 и 1, то их, как и булевы переменные, можно связывать логическими операциями. В результате получаем формулы, определяющие более сложные предикаты. Так, если означает « – инженер», а – « – сотрудник нашего отдела», то есть одноместный предикат « – инженер и сотрудник нашего отдела» или проще « – инженер нашего отдела». Очевидно, если – множество инженеров, а – множество сотрудников данного отдела, то этот предикат соответствует пересечению . Таким образом, имеет место тесная связь между логикой предикатов и операциями над множествами.

В логике предикатов большое значение имеют две операции, называемые кванторами, с помощью которых выражают отношения общности и существования. Пусть – предикат, определенный на множестве . Утверждение, что все обладают свойством , записывают с помощью квантора общности в виде , что читается «для всех , от ». Утверждение, что существует хотя бы один объект из , обладающий свойством , записывают с помощью квантора существования в виде , что читается «существует такое , что от ».

Хотя в выражениях и и встречается буква , но они не зависят от значений этой переменной. Кванторы и связывают переменную , превращая одноместный предикат в высказывание. Очевидно, истинно только при условии, что тождественно истинный предикат, а во всех остальных случаях это высказывание ложно, высказывание всегда истинно, кроме единственного случая, когда – тождественно ложный предикат.

Рассмотрим, например, предикат « – простое число», определенный на множестве натуральных чисел. Подставляя вместо числа натурального ряда, получаем счетное множество высказываний. Некоторые из них, например и т. д., являются истинными. Высказывание – «все натуральные числа простые» – ложно, а – «некоторые из натуральных чисел – простые» – истинно. Между кванторами и имеют место соотношения, обобщающие законы де Моргана: ; .

Применение квантора к -местному предикату превращает его в -местный предикат. Кванторы можно также применять к нескольким различным переменным (по одному квантору какого-либо типа к каждой переменной). Если к -местному предикату применяется кванторов, то он превращается в -местный предикат, а при – в высказывание. Переменные, к которым применяются кванторы, называются связанными, а остальные переменные – свободными. Например, из двухместного предиката с помощью кванторов получаем одноместные предикаты ; ; и , а также высказывания ; ; и т. п.

Порядок следования одноименных кванторов не имеет значения, но разноименные кванторы переставлять нельзя. Так, эквивалентно , но высказывания и , вообще говоря, различны. В этом можно убедиться на примере предиката =« делит », который в первом случае превращается в высказывание «для всякого существует такое , что делит » (истинно), а во втором – «существует такое , что любое делит » (ложно).

Квантор связывает переменную в области своего действия. Эта область обычно заключается в скобки, если она содержит не один предикат, а совокупность предикатов, связанных символами логических операций. Выражения, которые можно образовать применением к предикатам сентенциональных связок и кванторов, представляют собой формулы логики предикатов. Переменная свободна в формуле, если хотя бы на одно ее вхождение не распространяется действие квантора. Переменная связана в формуле, если она связана по меньшей мере одним квантором. Например, в формуле вхождение каждой из переменных связано, а в формуле переменная одновременно и свободная и связанная.

Перевод предложений с русского или какого-либо другого языка на символический язык логики предикатов вызывает определенные трудности из-за отсутствия механических правил. Он основан не столько на форме обычных предложений, сколько на выявлении их смысловой связи.

В традиционной логике большое внимание уделяется четырем типам категорических высказываний, которые обычно обозначаются заглавными латинскими буквами :

– общеутвердительное высказывание «всякое суть »: , что означает: «Для всех , если обладает свойством , то обладает и свойством »;

– общеотрицательное высказывание «никакое не есть »: , что означает «для всех , если обладает свойством , то он не обладает свойством »;

– частноутвердительное высказывание «некоторые суть »: , что означает «существует такой объект , обладающий свойством , который также обладает свойством »;

– частноотрицательное высказывание «некоторые не суть »: , что означает «существует такой объект , который обладает свойством и не обладает свойством ».

Пусть, например, = « – селедка» (свойство «быть селедкой») и – « – рыба» (свойство «быть рыбой»). Тогда четырем типам категорических высказываний соответствуют следующие утверждения: = «Всякая селедка – рыба»; – «Никакая селедка не является рыбой»; = «Некоторые селедки – рыбы»; = «Некоторые селедки не являются рыбами».

На основе правил преобразования высказываний и зависимостей между кванторами можно записать: . Аналогично преобразуются и другие типы высказываний, в результате чего получаем зависимости:

;

;

;

.

Как видно из приведенных равносильностей, высказывания и , а также и являются отрицаниями друг от друга (если одно из них истинно, то другое ложно и обратно) и называются противоположными. Из коммутативности операции конъюнкции следует, что суждения и допускают перестановку предикатов, т. е.

;

.

Приняв одно из категорических высказываний в качестве посылки, а другое – в качестве следствия, можно построить так называемые непосредственные заключения. Истинность или ложность заключения зависит только от его формы.

Обычно категорические высказывания сокращенно обозначают совокупностью трех букв , , , , где указывают на тип высказывания ( ); и – термины, означающие свойства в таком порядке, в каком они входят в высказывание. Например, непосредственное заключение в принятых обозначениях запишется как .

Традиционная схема отношений между категорическими высказываниями, называемая логическим квадратом, показана на рис. 18.

Рис. 18

Там же приведены диаграммы Венна для каждого из четырех типов высказываний. Они непосредственно вытекают из правых частей выражений в (4) и теоретико-множественной интерпретации логических операций над предикатами, причем заштрихованные области соответствуют пустым множествам, а отмеченные звездочкой – непустым множествам. Так как , если и только если , то высказывание соответствует отношению включения множеств . В случае высказывания множества и являются непересекающимися, а в случае высказывания множества и должны иметь непустую общую часть. Наконец, высказывание в силу тождества соответствует дополнению до .

Особый интерес представляют общезначимые формулы, которые истинны (принимают значения 1) при каждом приписывании значений входящих в них свободных переменных и предикатов. Если – общезначимая формула, то она, как и тавтологии, обозначается .

Для доказательства общезначимости формул используется аппарат логики высказываний, дополненный теоремами для выражений, содержащих кванторы. Приведем некоторые из них.

1) Пусть – формула, свободная для , тогда:

а) ; б) ;

2) Пусть – формула, не содержащая свободных вхождений переменной , и – какая-либо формула; тогда:

а) если , то ; б) если , то .

3) , если и только если (следствие из теорем 1 и 2).

На основе этих теорем строятся правила вывода, которые, наряду с правилами исчисления высказываний (правила подстановки и заключения, теорема дедукции и др.), используются для доказательства логических следствий.

Правило универсальной конкретизации (УК): из , которая свободна для , выводится подстановкой в вместо переменной (теорема 1а).

Правило универсального обобщения (УО): если – следствие посылок, ни одна из которых не имеет свободных вхождений , то из нее выводится (теорема 2а).

Кроме того, можно использовать еще два правила, представляющие собой аналоги приведенных выше правил для квантора существования.

Правило экзистенциальной конкретизации (ЭК) позволяет перейти от к , где – неизвестный, но вполне определенный элемент такой, что, если истинно, то также истинно.

Правило экзистенциального обобщения (ЭО) позволяет перейти от к , т. е., если существует такое , что истинно, то истинно и .

В логику предикатов полностью переносятся все тавтологии, в частности соотношения: а) , если и только если ; б) , если и только если .

Исходя из понятия общезначимости, можно дать следующее определение логического следствия в логике предикатов: формула есть логическое следствие формул , т. е. если для каждого множества определения и для каждого приписывания формулам в этом множестве формула истинна при условии, что все истинны. При этом для всех свободных вхождений некоторой переменной в какие-нибудь выбирается одно и то же значение из множества определения, т. е. такое по существу рассматривают как постоянную.

Рассмотрим пример. Сформулируем сложное высказывание, выраженное на обычном языке: «Некоторые студенты выполнили все задания. Ни один студент не выполнял графиков. Следовательно, ни одно задание не являлось графиком». В первом предложении участвуют одноместные предикаты – свойства = « – студент», = « – задание» и двуместный предикат = « выполнил ». Так как в нем говорится о «некоторых студентах», то соответствующая форма будет , где – сложное высказывание, характеризующее предикат , а именно: «выполнили все задания». Поскольку речь идет о «всех заданиях», то переменная связывается квантором общности и высказывание представляется формулой , которая дословно переводится «для всякого , если – задание, то выполнили », смысл которого соответствует фразе «выполнили все задания». Итак, символическая запись первого предложения имеет вид: . Аналогично записывается и второе предложение , где = « – график». Заключение «Ни одно задание не являлось графиком» представляет собой категорическое высказывание типа : .

Таким образом, и – посылки, а – заключение. Процесс доказательства представляется диаграммой вывода, приведенной на рис. 19. Применение правил вывода, специфических для логики предикатов, указано их сокращенными обозначениями. Остальные правила заимствованы из логики высказываний.

Рис. 19