Возведение комплексных чисел в натуральную степень
Пусть задано комплексное число в тригонометрической форме. Какое получится число при возведении его в квадрат? Так как при комплексных чисел модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются, то при возведении в квадрат модуль комплексного числа возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2.
При возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на . Итак, справедлива формула . Это выражение называется формулой Муавра.
8. Извлечение корня -й степени из комплексных чисел
Пусть задано комплексное число в тригонометрической форме. Какое число при возведении его в -ю степень даст нам число, модуль которого равен , а аргумент равен ? Так как возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на , то, очевидно, комплексное число с модулем, равным и аргументом, равным , обладает требуемым свойством. Обратим внимание на то, что при изменении аргумента на значение, равное , после возведения в -ю степень комплексное число изменяет значение аргумента на , т.е. на . А это означает, что таким образом измененное комплексное число также является корнем -й степени из заданного числа .
Тем самым мы приходим к формуле , где .
Итак, является величиной, принимающей различных значений при . Заметим, что все эти значения корня лежат на окружности радиуса через равные значения аргумента .
Пример 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа , где , , .
Решение. План действий следующий. Мы найдем модуль и аргумент чисел , . Затем мы найдем искомый модуль числа, учитывая, что при возведении в степень модуль возводится в эту же степень, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, при делении – соответствующие модули делятся. После этого мы займемся аргументами чисел , и, учитывая соответствующие правила для аргументов, найдем искомый аргумент.
Рассмотрим число и вычислим его модуль . Найдем тангенс аргумента этого числа . Так как находится в 4-й четверти, то главное значение его аргумента равно . | |
Рассмотрим теперь число и вычислим его модуль . Найдем тангенс аргумента этого числа . Так как точка находится в 3-й четверти, то главное значение его аргумента равно . |
Обратите внимание, что если равно , то равно . Добавочное слагаемое не меняет тангенса аргумента. Оно связано с необходимостью «попасть» в нужную четверть.
У числа найдем модуль . Тангенс аргумента здесь равен . Соответственно лавное значение его аргумента равно . |
Заметим, что , т.е. модуль и аргумент этого числа равны 1 и . Теперь найдем - искомый модуль комплексного числа и одно из значений аргумента , равное . Отсюда главное значение аргумента равно .
Ответ. ,
Пример 3. Найдите . Решение. На рисунке отмечены 3 точки, которые являются корнями 3-й степени из числа 8. Эти 3 точки находятся на окружности радиуса 2 и имеют аргументы 0, и . |
Итак, , , .
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1762;