Решение алгебраических уравнений

Из алгебраических уравнений вида мы научились решать в школе линейные уравнения вида и квадратные уравнения . В обоих случаях коэффициент при старшей степени не должен равняться 0. Мы знаем, что даже квадратное уравнение не всегда имеет корни на множестве действительных чисел. В приложениях, связанных с комплексными числами, очень важно находить корни многочлена от комплексной переменной.

В отличии от этого, алгебраическое уравнение с комплексной переменной степени выше нулевой всегда имеет хотя бы один, вообще говоря, комплексный корень. В этом суть «основной теоремы алгебры», которую мы сформулируем без доказательства.

Теорема 1. (Основная теорема алгебры) При уравнение имеет хотя один, один, вообще говоря, комплексный корень.

А вот теорема Безу легко доказывается.

Теорема 2. (Теорема Безу) Остаток от деления на двучлен равен .

Доказательство. Пусть , тогда , откуда .

Следствие 1. Многочлен разлагается на линейных множителей, т.е. представляется в виде , где .

Пример 4. Решите уравнение .

Решение. Применим формулу для решения квадратного уравнения с четным коэффициентом при линейном члене. Итак, . Под здесь понимается любое число, квадрат которого равен . Таким числом может быть число , и в итоге .

Ответ. .

Пример 5. Решите уравнение .

Решение. Применим формулу для решения квадратного уравнения с четным коэффициентом при линейном члене. Итак, или . Под здесь понимается любое число, квадрат которого равен . Если число возвести в квадрат и приравнять к , то несложно выяснить, что одним из значений является число . В итоге , и мы приходим к ответу , . Заметим, что можно было «подобрать» эти корни, используя теорему Виета.