ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа называется такая математическая операция, в результате которой функции-оригиналу N(t) ставится в соответствие функция F(p), называемая изображением функции N(t) и определяемая следующим образом:

. (Д.1)

Из определения следует, что преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е.

.

Используя определение (Д.1) и применяя интегрирование по частям, можно показать, что изображение первой производной функции, дифференцируемой в точке t = 0, выглядит как

.

Обратная операция отыскания оригинала по его изображению

называется обратным преобразованием Лапласа. Обратное преобразование Лапласа также линейно.

Для отыскания оригиналов существуют таблицы, найти которые можно в математических справочниках. Приведем здесь краткую выдержку из подобной таблицы.

Указанные свойства преобразования Лапласа и обратного ему преобразования позволяют использовать их для решения систем линейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Рассмотрим решение двух первых уравнений системы, описывающей скорость радиоактивных превращений в простейшей цепочке из двух радионуклидов:

,

, (6.2)

и . Применим преобразование Лапласа к левой и правой частям этих уравнений. В результате, используя свойство линейности, получим следующую систему алгебраических уравнений

,

. (Д.2)

Выразим F₁(р) из первого уравнения системы (Д.2):

.

Подставив этот результат во второе уравнение системы (Д.2), получим

. (Д.3)

Пользуясь свойством линейности обратного преобразования, по таблице находим оригиналы N₁(t) и N₂(t):

,

. (6.3)

Если к первым двум уравнениям системы (6.2) добавить третье, соответствующее следующему превращению в радиоактивной цепочке,

,

, то отыскание его решения полностью аналогично:

.

Подставляя в это уравнение F₂(р) из (Д.3), находим, что

.

Отыскание оригинала по таблице приводит к следующему результату:

Решение более сложных систем (в том числе для разветвленных цепочек) методом преобразования Лапласа также не представляет трудности. Однако, как показывает последний пример, аналитические решения N_i(t) при больших i выглядят весьма громоздко. В этом случае для получения результата предпочтительнее использовать алгоритм Бейтмана, изложенный в п. 6.2.

ПРИЛОЖЕНИЕ Е. β-спектры

Для очень большого числа N β-распадов число распадов dN, при которых произойдет вылет электрона с импульсом от p_e до p_e + dp_e и антинейтрино с импульсом p_ν, определяется как

, (Е.1)

где ω(p_e) и ω(p_ν) – вероятности того, что проекции импульсов p_e и p_ν примут значения p_e и p_ν соответственно. Для каждой из двух частиц вероятность ω(p) пропорциональна площади сферы с радиусом р, т.е.

.

Перейдем от импульсов частиц к их энергиям. Кинетическая энергия электрона как релятивистской частицы

(E₀ = m_ec²), откуда следует

.

Дифференцируя T_e по p_e, получим

,

.

Вследствие малой массы нейтрино с любой энергией можно считать ультрарелятивистским, поэтому p_ν = E _ν/c. Учтем закон сохранения энергии,[206] согласно которому . Тогда

.

В результате подстановки p_e, p_ν и dp_e в (Е.1) найдем, что число распадов, при которых произойдет вылет электрона с энергией от T_e до T_e + dT_e

,

где D – коэффициент пропорциональности. Таким образом, выражающая форму β-спектра функция имеет вид

. (8.1)

При малых энергиях β-частиц форма спектра заметно искажается из-за кулоновского взаимодействия β-частиц с ядром, которое «включается» сразу же после распада. В случае β^–-распада это взаимодействие является притягивающим и стремится уменьшить энергию вылетающего электрона. При β⁺-распаде кулоновское взаимодействие – отталкивающее и поэтому стремится ускорить вылетающий позитрон. В результате спектры электронов обогащаются, а спектры позитронов обедняются частицами с низкой энергией (рис. Е). Учет кулоновского взаимодействия приводит к следующей формуле для распределения β-частиц по энергиям:

, (E.2)

где функция точно вычисляется и протабулирована для различных значений заряда ядра и энергии β-частиц. В нерелятивистском приближении

, (E.3)

где x = ±Ze²/ћv (v – скорость β-частицы, Z – заряд дочернего ядра, знак «+» соответствует электронам, «–» позитронам).