ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа называется такая математическая операция, в результате которой функции-оригиналу N(t) ставится в соответствие функция F(p), называемая изображением функции N(t) и определяемая следующим образом:
. (Д.1)
Из определения следует, что преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е.
.
Используя определение (Д.1) и применяя интегрирование по частям, можно показать, что изображение первой производной функции, дифференцируемой в точке t = 0, выглядит как
.
Обратная операция отыскания оригинала по его изображению
называется обратным преобразованием Лапласа. Обратное преобразование Лапласа также линейно.
Для отыскания оригиналов существуют таблицы, найти которые можно в математических справочниках. Приведем здесь краткую выдержку из подобной таблицы.
Указанные свойства преобразования Лапласа и обратного ему преобразования позволяют использовать их для решения систем линейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Рассмотрим решение двух первых уравнений системы, описывающей скорость радиоактивных превращений в простейшей цепочке из двух радионуклидов:
,
, (6.2)
и . Применим преобразование Лапласа к левой и правой частям этих уравнений. В результате, используя свойство линейности, получим следующую систему алгебраических уравнений
,
. (Д.2)
Выразим F1(р) из первого уравнения системы (Д.2):
.
Подставив этот результат во второе уравнение системы (Д.2), получим
. (Д.3)
Пользуясь свойством линейности обратного преобразования, по таблице находим оригиналы N1(t) и N2(t):
,
. (6.3)
Если к первым двум уравнениям системы (6.2) добавить третье, соответствующее следующему превращению в радиоактивной цепочке,
,
, то отыскание его решения полностью аналогично:
.
Подставляя в это уравнение F2(р) из (Д.3), находим, что
.
Отыскание оригинала по таблице приводит к следующему результату:
Решение более сложных систем (в том числе для разветвленных цепочек) методом преобразования Лапласа также не представляет трудности. Однако, как показывает последний пример, аналитические решения Ni(t) при больших i выглядят весьма громоздко. В этом случае для получения результата предпочтительнее использовать алгоритм Бейтмана, изложенный в п. 6.2.
ПРИЛОЖЕНИЕ Е. β-спектры
Для очень большого числа N β-распадов число распадов dN, при которых произойдет вылет электрона с импульсом от pe до pe + dpe и антинейтрино с импульсом pν, определяется как
, (Е.1)
где ω(pe) и ω(pν) – вероятности того, что проекции импульсов pe и pν примут значения pe и pν соответственно. Для каждой из двух частиц вероятность ω(p) пропорциональна площади сферы с радиусом р, т.е.
.
Перейдем от импульсов частиц к их энергиям. Кинетическая энергия электрона как релятивистской частицы
(E0 = mec2), откуда следует
.
Дифференцируя Te по pe, получим
,
.
Вследствие малой массы нейтрино с любой энергией можно считать ультрарелятивистским, поэтому pν = E ν/c. Учтем закон сохранения энергии,[206] согласно которому . Тогда
.
В результате подстановки pe, pν и dpe в (Е.1) найдем, что число распадов, при которых произойдет вылет электрона с энергией от Te до Te + dTe
,
где D – коэффициент пропорциональности. Таким образом, выражающая форму β-спектра функция имеет вид
. (8.1)
При малых энергиях β-частиц форма спектра заметно искажается из-за кулоновского взаимодействия β-частиц с ядром, которое «включается» сразу же после распада. В случае β–-распада это взаимодействие является притягивающим и стремится уменьшить энергию вылетающего электрона. При β+-распаде кулоновское взаимодействие – отталкивающее и поэтому стремится ускорить вылетающий позитрон. В результате спектры электронов обогащаются, а спектры позитронов обедняются частицами с низкой энергией (рис. Е). Учет кулоновского взаимодействия приводит к следующей формуле для распределения β-частиц по энергиям:
, (E.2)
где функция точно вычисляется и протабулирована для различных значений заряда ядра и энергии β-частиц. В нерелятивистском приближении
, (E.3)
где x = ±Ze2/ћv (v – скорость β-частицы, Z – заряд дочернего ядра, знак «+» соответствует электронам, «–» позитронам).
Дата добавления: 2020-12-11; просмотров: 286;