ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Биномиальное распределение, распределения Пуассона и Гаусса
Обозначим биномиальное распределение (5.8) как и вычислим для него среднее число ядер , распадающихся за некоторый промежуток времени. Для этого введем функцию
и найдем ее первую и вторую производные по параметру z в точке z = 1:
, (Г.1)
. (Г.2)
Согласно определению среднего,
.
Тогда, в силу (Г.1)
. (5.10)
Чтобы найти дисперсию биномиального распределения, разложим выражение для квадрата отклонения случайной величины от среднего:
.
Можно видеть, что при усреднении второго слагаемого в этом выражении получается нуль, так как среднее отклонение от среднего равно нулю. Далее представим первое слагаемое в следующем виде:
.
Используя определение дисперсии, найдем, что
.
Далее воспользуемся тем, что, согласно (Г.2), среднее значение произведения n(n – 1) есть вторая производная функции g(z). Отсюда
Тогда
. (5.11)
При и р << 1 выражение (5.8) можно упростить. Подставляя, согласно (5.10), получаем:
.
Осуществим предельный переход во втором множителе:
.
Аналогично, пользуясь определением второго замечательного предела
,
получаем для третьего множителя
.
Таким образом,
. (5.12)
Полученное распределение WP(n) известно как распределение Пуассона.
Преобразуем соответствующим образом распределение Пуассона для >>1. Во-первых, воспользуемся формулой Стирлинга для аппроксимации факториалов больших чисел .
Тогда
. (Г.3)
Во-вторых, используем тот факт, что распределение WР(n) заметно отлично от нуля лишь в довольно узкой области справа и слева от максимума (см. рис. 5.2). Тогда, раскладывая показатель экспоненты в (Г.3) в ряд Тейлора по ,
,
с точностью до первого неисчезающего члена (в данном случае – второго порядка по Δn) и заменяя под корнем 2πn на 2π , получаем
. (5.14)
Выражение (5.14) представляет собой не что иное, как закон Гаусса, или нормальное распределение непрерывной случайной величины.[205]
Дата добавления: 2020-12-11; просмотров: 291;