Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения.

; .

Ответ: х1 = ; х2 = 2.

Упражнения: Решить уравнения:

  1. ;
  1. ;
  1. ;
  1. ;
  1. ;
  1. ;

 

7. Формула для перехода от одной системы логарифмов к другой.

 

Очень часто в математике встает задача нахождения логарифма положительного числа b по основанию n (n > 0, n ¹ 1), если известен логарифм этого числа по другому основанию а (а > 0, a ¹ 1). Задача сводится к нахождению переводного множителя, с помощью которого осуществляется переход от одной системы логарифмов к другой.

Задача:

Дано:

;

Найти:

.

Решение:

Û ;

Û ;

Прологарифмируем обе части равенства по основанию а:

Û Û Û

Û Û .

.

Пример:

  1. ;
  2. .

Вывод:

1. Выражение называется модулем перехода от одной системы логарифмов к другой. Равенство называется формулой перехода от одной системы логарифмов к другой.

 

Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).

 

2. Логарифм числа при данном основании равен логарифму этого же числа при другом основании, умноженному на модуль перехода.

3. Если а = b ,то или , то есть и являются взаимно обратными числами.

Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).

 

4. ;

.

Замечание: Формула дополняет уже известные свойства логарифмов (пункт № 16).

Пример: .

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений с использованием формулы перехода от одной системы логарифмов к другой.

 

Пример:

  1. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

.

Используя формулу перехода от одной системы логарифмов к другой приведем логарифмы к основанию 2:

;

;

;

;

; ; ; ;

; х = 8 .

Проверка:

.

Ответ: х = 8 .

  1. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

.

Используя формулу перехода от одной системы логарифмов к другой приведем логарифмы к основанию 2:

;

;

;

;

Умножим обе части уравнения на 4:

;

Введем новую переменную: ;

; ;

; ; у1 = 2; у2 = 10;

у1 = 2 ; lоg2 x = 2; х1 = 4;

у2 = 10; lоg2 x = 10; х2 = 1024.

Проверка:

Все корни принадлежат области определения уравнения.

; .

Ответ: х1 = 4; х2 = 1024.

Упражнения: Решить уравнения:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. .

 

8. Логарифмические неравенства.

Решение логарифмических неравенств основано на том, что функция при а > 1 является монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 - монотонно убывающей.

 

Пример: Решить логарифмические неравенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

1. .

Решение:

Ответ: .

2. .

Решение:

Ответ: .

3. .

Решение:

Ответ: .

4. .

Решение:

Ответ: .

1.






Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1107; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.04 сек.