Функция является обратимой, так как она монотонна.
6. Нулей функции нет, так как уравнение у = 0 , то есть корней не имеет.
7. Промежутки знакопостоянства: при , так как
при
при
при
8. Функция ограничена снизу, так как при
.
9. Любая показательная функция проходит через точку (0; 1) , так как при
х = 0 .
Замечание:
1) При а > 1функция возрастает тем быстрее, чем больше а;
2) При 0 < а < 1 функция убывает тем быстрее, чем меньше а.
х |
у |
- 3 |
- 2 |
- 1 |
![]() |
![]() |
0 < а < 1
х | - 3 | - 2 | - 1 | ||||
у | ![]() | ![]() | ![]() |
а > 1 а = 2
х | - 3 | - 2 | - 1 | ||||
у | ![]() | ![]() | ![]() |
Упражнения:
1. Перечислите свойства функции и постройте ее график:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Найдите множество значений функции:
а) ; б)
; в)
; г)
.
3. Сравните числа:
а) ; б)
; в)
; г)
.
4. Вычислите:
а) ; б)
; в)
; г)
.
5. Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая – убывающей на множестве действительных чисел R:
а) ; б)
;
в) ; г)
.
1. Показательные уравнения.
Определение: Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.
1) , а > 0 , а ¹ 1
На основании определения степени с нулевым показателем решение уравнения сводится к решению уравнения f(x)=0:
.
Пример: Решить уравнение: .
Решение:
; 1 = 20;
;
;
;
;
;
; х1 = 2; х2 = 3.
Ответ: х1 = 2; х2 = 3.
Упражнения: Решить уравнение :
1. а = 2 f (x)= x2- 40 x + 300;
2. а = 5 f (x)= (x2+ x - 2)(3- x);
3. а = 3 ;
4. а = 2 f (x)= x2- 7 x + 12;
5. a = 0,5 .
2) , а > 0 , а ¹ 1
Левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. В этом случае корнями уравнения
будут корни уравнения
.
.
Пример: Решить уравнения:
1) .
Решение: ;
;
;
;
;
;
;
;
; х1 =
; х2 = 1.
Ответ: х1 = ; х2 = 1.
2) .
Решение: ; 128 = 27;
;
; 6 х = 7; х =
.
Ответ: х = .
3) .
Решение:
;
;
;
;
;
;
;
;
; х1 = - 1; х2 = 3.
Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.
Упражнения: Решить уравнения:
1. ![]() | 2. ![]() |
3. ![]() | 4. ![]() |
5. ![]() | 6. ![]() |
7. ![]() | 8. ![]() |
9. ![]() | 10. ![]() |
11. ![]() | 12. ![]() |
3) , а > 0 , а ¹ 1 , b > 0 , b ¹ 1 , а ¹ b
Уравнение решается делением обеих частей на .
Пример: Решить уравнения:
1) .
Решение: Разделим обе части уравнения на .
;
;
; х - 2 = 0; х = 2.
Ответ: х = 2.
2) .
Решение: ;
;
;
Умножим обе части уравнения на .
;
;
; х - 3 = 0; х = 3.
Ответ: х = 3.
Упражнения: Решить уравнения:
1) ![]() | 2) ![]() |
3) ![]() | 4) ![]() |
5) ![]() | 6) ![]() |
4) , а > 0 , а ¹ 1
Особенностью уравнения является наличие одного и того же коэффициента перед х. Для решения этого уравнения выносят за скобки общий множитель , где k i - наименьшее из чисел k0 , k1 , k2 , … , kп .
Пример:
1) .
Решение: ;
;
;
;
;
; х = 4.
Ответ: х = 4.
2) .
Решение:
;
;
;
;
;
; 3х - 2 = 2х - 2; 3х - 2х = 2 - 2; х = 0.
Ответ: х = 0.
3) .
Решение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответ: .
Упражнения: Решить уравнения:
1) ![]() | 2) ![]() |
3) ![]() | 4) ![]() |
5) ![]() | 6) ![]() |
5) , а > 0 , а ¹ 1
Уравнение с помощью подстановки
обращается в квадратное уравнение:
. Решив квадратное уравнение, найдем у1, у2 . После этого решение уравнения
сводится к решениюдвух уравнений:
,
.
Пример:
1) .
Решение: ;
;
;
;
;
;
;
; у1 = - 4; у2 = 2;
- уравнение корней не имеет, так как
;
; х = 1.
Ответ: х = 1.
2) .
Решение:
;
;
;
;
;
;
;
; у1 = 1; у2 = 3;
; х2 - 1 = 0; х2 = 1; х1 = - 1; х2 = 1;
; х2 - 1 = 1; х2 = 2; х3 =
; х4 =
.
Ответ: х1 = - 1; х2 = 1; х3 = ; х4 =
.
Упражнения: Решить уравнения:
1) ![]() | 2) ![]() |
3) ![]() | 4) ![]() |
5) ![]() | 6) ![]() |
7) ![]() |
6) , а > 0 , а ¹ 1, b > 0 , b ¹ 1.
Отметим, что в выражении показатели степеней в первом и третьем слагаемых вдвое больше показателей степеней во втором слагаемом. Такие выражения называются однородными 2-ого порядка. А уравнения вида
называются однородными 2-ого порядка. Разделив уравнение на
, получим:
.
Уравнение с помощью подстановки
обращается в квадратное уравнение:
. Решив квадратное уравнение, найдем у1, у2 и, возвращаясь к первоначальной переменной, получим два уравнения
и
.
Пример: .
Решение: ;
;
Разделим обе части уравнения на :
;
;
;
;
;
;
; у1 =
; у2 = 1;
; х1 = 1;
; х2 = 0.
Ответ: х1 = 1; х2 = 0 .
Упражнения: Решить уравнения:
1) ![]() | 2) ![]() |
3) ![]() | 4) ![]() |