Игра полковника Блотто

Две армии ведут борьбу за два исходных пункта. Армия полковника Блотто (игрок А) состоит из 4–х формирований, армия противника (игрок В) – из 3–х. Правила игры: армия посылает больше формирований, занимает его и уничтожает посланные туда формирования противника. В случае равенства сил противник очков не получает. Общий выигрыш определяется как сумма выигрышей в 2–х пунктах. Платежная матрица представлена на рис. 7.2.

Рис. 7.2

Задачей теории игр является нахождение решения игры, т.е. определение для каждого игрока его оптимальной стратегии и цены игры.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или максимально возможный средний проигрыш) независимо от поведения противника.

Ценой игры называется выигрыш (проигрыш), соответствующий оптимальным стратегиям игроков.

В теории игр наилучшим принято считать поведение игроков, при котором каждый игрок предполагает, что его противник не глупее (принцип разумности).

Если игрок А выбрал стратегию i, то его выигрыш составит

Отсюда максимальный гарантированный выигрыш

.

Стратегия, соответствующая называется максиминной стратегией, а – нижней ценой игры или максимином.

Игрок В, рассуждая аналогично, может среди всех своих стратегий выбрать ту, которая обеспечит ему минимальный гарантированный проигрыш.

Стратегия, соответствующая называется минимаксной стратегией, а величина – верхней ценой игры или минимаксом.

Если игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то он получает выигрыш не меньше максиминного значения, т.е.

Если игрок В придерживается минимаксной стратегии, то его проигрыш будет не больше минимального значения, т.е.

В общем случае отношения между нижней и верхней ценой игры устанавливаются неравенством

Существуют игры, для которых . Элемент платежной матрицы, отвечающей этим стратегиям, называется Седловой точкой. Ей отвечает цена игры :

Если , то игра выгодна игроку А.

При игра выгодна игроку В.

Если , то игра выгодна обоим игрокам и называется безобидной или справедливой.