Механические свойства твердых тел

Изменение взаимного расположения точек тела, которое приводит к изменению его формы и размеров, называют деформацией. Деформации могут быть вызваны внешними воздействиями (механическими, электрическими или магнитными) или изменение температуры тела. Здесь рассматриваются деформации, возникающие при действии сил на тело.

В твердых телах деформацию называют упругой, если после прекращения действия силы она исчезает. Если же деформация сохраняется и после прекращения внешнего воздействия, то ее называют пластической. Промежуточный случай, т, е. неполное исчезновение деформации, принято называть упругопластической деформацией.

Наиболее простым видом деформации является растяжение (сжатие). Оно, например, возникает в стержне (рис. 8.11) при действии силы, направленной вдоль его оси. Если стержень дли­нной I при этом удлинился на ∆1, то е = ∆l/l является мерой деформации растяжения и называется относительным удлинением. Другим видом деформации является сдвиг (рис. 8.12).

Сила, касательная к одной из граней прямоугольного параллелепипеда,

вызывает его деформацию, превращая в косоугольный параллеле­пипед (см. штриховые линии на рисунке). Угол у называют углом сдвига, a tg γ — относительным сдвигом. Так как обычно угол у мал, то можно считать tg γ = γ.

При действии на тело внешней деформирующей силы расстоя­ние между атомами (ионами) изменяется. Это приводит к возник­новению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы (ионы) в первоначальные положения. Мерой этих сил является механиче­ское напряжение (или просто напряжение).

Непосредственно напряжение не измеряется. В ряде случаев его можно вычислить через внешние силы, действующие на тело. Косвенно напряжение можно определить по некоторым физиче­ским эффектам (см., например, § 20.5).

Применительно к деформации растяжения напряжение а мож­но выразить как отношение силы к площади поперечного сечения стержня (см. рис. 8.11, б):

Для деформации сдвига напряжение т выражают как отношение силы к площади грани, к которой сила касательна (см. рис. 8.12, б). В этом случае τ называют касательным напряжением:

Упругие деформации подчиняются закону Гука, согласно кото­рому напряжение пропорционально деформации. Для двух рас­смотренных случаев (растяжение-сжатие и сдвиг) это аналитиче­ски записывается так:

где Е — модуль Юнга, a G — модуль сдвига.

Экспериментальная кривая растяжения приведена на рис. 8.13. Участок ОА соответствует упругим деформациям, точка В — преде­лу упругости, характеризующему то максимальное напряжение, при котором еще не имеют места деформации, остающиеся в теле после снятия напряжения (остаточные деформации). Горизонталь­ный участок CD кривой растяжения соответствует пределу теку­чести — напряжению, начиная с которого деформация возрастает без увеличения напряжения. И наконец, напряжение, определяемое наибольшей нагрузкой, выдерживаемой перед разрушением, является пределом прочности.

Между упругими свойствами кристаллических мономеров и полимерных материалов существует огромная и принципиальная разница, например, в пределах прочности сталь разрывается уже

при растяжении на 0,3%, а мягкие резины можно растягивать до,300%. Это связано с качественно другим механизмом упругос­ти высокомолекулярных соединений.

Как уже говорилось, при деформации кристаллических твер­дых тел, например стали, силы упругости всецело определяются, изменением межатомных расстояний. Структура высокомолеку­лярных соединений не регулярна. Они состоят из очень длинных гибких молекул, которые причудливо изогнуты, части молекул находятся в хаотическом тепловом движении так, что их форма и длина все время изменяются. Но в каждый данный момент боль­шинство молекул в недеформированном образце имеет длину, близкую к наиболее вероятной. При приложении нагрузки к мате­риалу (рис. 8.14, а) его молекулы выпрямляются в соответствую­щем направлении и длина образца увеличивается (рис. 8.14, б). После снятия нагрузки вследствие хаотического теплового движе­ния длина каждой молекулы восстанавливается и образец укора­чивается.

Упругость, свойственную полимерам, называют каучукоподобной эластичностью (высокой эластичностью или высокоэластичностью).

Приведем данные по механическим свойствам некоторых ма­териалов (табл. 16).

Таблица 16

Различие между деформацией кристаллических мономеров и полимерных материалов проявляется и во временной ее зависи­мости. Дело в том, что практически все материалы обладают пол­зучестью: под действием постоянной нагрузки происходит их де­формация. В полимерах распрямление молекул при нагрузке ма­териала и скольжение макромолекул происходят более длительно, чем, например, ползучесть в металлах. В какой-то мере при ползу­чести процессы, происходящие в полимере, соответствуют тече­нию вязкой жидкости. Сочетание вязкого течения и высокой элас­тичности позволяет называть деформацию, характерную для по­лимеров, вязкоупругой.

Упругие и вязкие свойства тел удобно моделировать. Это дает возможность нагляднее представить механические свойства био­логических объектов (см. § 8.4).

В качестве модели упругого тела (упругой деформации) выбе­рем пружину (рис. 8.15, а), малая деформация которой соответст­вует закону Гука.

Моделью вязкого тела является поршень с отверстиями, дви­жущийся в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 8.15, б).

Силу сопротивления среды в этом случае примем пропорци­ональной скорости перемещения поршня [см. (5.16)]:

Преобразуем уравнение (8.2), осно­вываясь на аналогии. Вместо силы со­противления запишем напряжение (F_conp → σ), т. е. силу, отнесенную к еди­нице площади, коэффициент трения, характеризующий свойство среды ока­зывать сопротивление движущемуся в ней телу, заменим коэффициентом вяз­кости среды (r → η), смещение тела — относительным удлинением (x → ε). Тог­да вместо (8.2) получим связь между скоростью вязкой деформации и напря­жением:

В справедливости (8.3) частично мож­но убедиться проверкой размерностей: σ [Па], η[Па • с], dε/dt[с^-1]. Из (8.3) видно, что напряжение зависит не от самой деформации, а от ее ско­рости (скорости перемещения поршня).

Вязкоупругие свойства тел моделируются системами, состоя­щими из различных комбинаций двух простых моделей: пружина и поршень. Рассмотрим некоторые из них.

Наиболее простой системой, сочетающей упругие и вязкие свойства, является модель Максвелла, в которой последовательно соединены упругий и вязкий элемент (рис. 8.15, в).

При воздействии постоянной силой пружина упруго мгновенно удлиняется до значения, определяемого законом Гука, а поршень движется с постоянной скоростью до тех пор, пока действует си­ла (напряжение). Так реализуется на модели ползучесть материалa.

Если быстро растянуть модель Максвелла и закрепить это со­стояние, то деформация будет сохраняться. Пружина после быст­рого растяжения начнет сокращаться, вытягивая поршень. Со временем будет происходить релаксация, т. е. уменьшение (рас­слабление) напряжения.

Опишем математически эту модель. Из закона Гука (8.1) сле­дует ε_упр = σ/E, где ε_упр — упругая часть общей деформации в мо­дели Максвелла. Скорость этой деформации равна

Скорость вязкой деформации выразим из (8.3):

Суммируя (8.4) и (8.5), находим скорость общей (суммарной) деформации модели Максвелла:

Из уравнения (8.6) можно получить временные зависимости как деформации, так и напряжения.

Если σ= const и dσ/dt = 0 (постоянная сила приложена к мо­дели), то из (8.6) следует

Интегрируя последнее выражение от начального момента време­ни и нулевой деформации до текущих значений t и ε, получаем

Это соответствует ползучести (рис. 8.16, а).

Если ε = const и dε/dt = 0 (поддерживается постоянная деформация), то из (8.6) следует

Интегрируя последнее выражение от начального момента времени и начального напряжения σ₀ до текущих значений t и σ, получаем:

Это соответствует релаксации напряжения (рис. 8.16, б).

В рамках модели Максвелла под действием нагрузки происхо­дит, как было показано, быстрое (мгновенное) первоначальное уп­ругое растяжение. В реальных полимерах вязкоупругая деформа­ция обычно происходит сразу же после приложения нагрузки. Поэтому более подходящей может оказаться модель Кельвина — Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и по­ршня, нечто вроде амортизатора в автомашине (см. рис. 8.15, г).

Если мгновенно создать в такой системе напряжение

приложив постоянную силу, то деформация системы будет воз­растать. Используя (8.1) и (8.3), преобразуем (8.9):

Проинтегрируем последнее выражение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и ε:

Потенцируя, имеем

Как видно, в рамках модели Кельвина—Фойхта деформация экспоненциально возрастает со временем. При снятии нагрузки (σ = 0 в момент t₁ деформация начнет экспоненциально убывать. Оба эти случая показаны на рис. 8.17.

В полимерах реализуются разные виды деформации: упругая обратимая (модель — пружина), вязкоупругая обратимая (модель Кельвина—Фойхта) и необратимая вязкая (модель — поршень). Сочетание этих трех элементов позволяет создавать модели, наи­более полно отражающие механические свойства тел и, в частнос­ти, биологических объектов.

Моделирование механических свойств тел широко используется в реологии. Основная задача реологии — это выяснение зависимости напряжения от относительной деформации: σ = f(ε); напряжения от времени (релаксация напряжения): σ = f(t) при ε = const; относи­тельной деформации от времени (ползучесть): ε = f(t) при σ = const.