Сложение гармонических колебаний
Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекторию результирующего движения, следует сложить колебания. Наиболее просто выполняется сложение гармонических колебаний. Рассмотрим две такие задачи.
Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Аналитически такие колебания выражаются следующими уравнениями:
Таким образом, поставленная задача решена: по формулам (5.30) и (5.31) можно найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Из выражения (5.30) вытекают следующие частные случаи:
т. е. амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу к (рис. 5.10, а);
т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу п (рис. 5.10, б). В частности, при Аг = А2 имеем А = 0, т. е. колебания нет (рис. 5.10, в). Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, то точка неподвижна. Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармоническим.
Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличаются друг от друга:
Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медленно изменяющейся амплитудой (амплитудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 5.11).
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:
Уравнения (5.35) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения t, то можно определить координаты х и у, а совокупность координат и есть траектория. Более наглядно траекторию должно представить в виде зависимости у = f(x), для получения которой следует исключить время из уравнений (5.35). Произведя математические преобразования, получим уравнение эллипса:
Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5.12).
Из выражения (5.36) вытекают некоторые частные случаи:
Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая симметричному расположению его относительно осей координат (рис.5.13, а). Из (5.37) при Ах = А2 = R (рис. 5.13, б) получаем уравнение окружности радиусом R:
2) φ02 - φ01 = kn, где k = О, 1, 2, ...; cos kn = ± 1, sin2 be = 0, и тогда это уравнение прямой линии, в которую вырождается эллипс [рис. 5.14, а соответствует знаку «+» в уравнении (5.40); рис. 5.14, б — знаку «-»].
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу.
Вид фигур Лиссажу зависит как от соотношения амплитуд А1 и А2, так и от отношения частот и разности начальных фаз φ01 - φ02 слагаемых колебаний (рис. 5.15):
Дата добавления: 2020-11-18; просмотров: 360;