Вестибулярный аппарат как инерциальная система ориентации

В обычных условиях положение свободно подвешенного маятника указывает направление силы тяжести (рис. 4.8, а). Если маятник покоится относительно ускоренно движущейся системы от­счета (неинерциальная система отсчета), то его положение зави­сит от ускорения системы а (рис. 4.8, б). Как следует из рисунка, по второму закону Ньютона,

где результирующая сила равна по величине откуда

Следовательно, даже простой математический маятник в прин­ципе может быть использован для определения модуля и направ­ления ускорения системы.

Более удобным индикатором ускорения системы является уст­ройство, изображенное на рис. 4.9, — тело известной массы ук­реплено на шести пружинках. По деформации пружин

можно определить значение и направление силы, действующей на тело, а отсюда и ускорение системы, если учесть ускорение свободного падения. Такого рода индикаторы используются в инерциальной навигации, получившей развитие в связи с решением космиче­ских задач.

В самом деле, если известно ускорение системы, например ра­кеты, в каждый момент времени, то можно найти зависимость скорости от времени:

Определив v = f(t), можно найти положение системы в любой момент

Наш организм приспособился к действию силы тяжести; соот­ветствующую привычную информацию клетки вестибулярного аппарата сообщают в мозг, поэтому состояния невесомости и пере­грузок воспринимаются нами посредством вестибулярного аппа­рата (и других органов) как необычные состояния, к которым не­обходимо приспособиться.

Если оказывается периодическое воздействие на вестибуляр­ный аппарат человека, например, при качке корабля, то это мо­жет привести организм в особое состояние, называемое морской болезнью.

Таким образом, можно без помощи средств, находящихся вне ракеты, автономно установить ее местоположение, скорость и ус­корение в любой момент времени.

Соответствующие устройства называются инерциальными системами ориентации.

В человеческом организме имеется орган, который тоже, по су­ществу, является инерциальной системой ориентации, — это вес­тибулярный аппарат. Он расположен во внутреннем ухе и состо­ит из трех взаимно перпендикулярных полукружных каналов К и полости — преддверия В (рис. 4.10). На внутренней поверхнос­ти стенок преддверия и в части полукружных каналов находят­ся группы чувствительных нервных клеток, имеющих свободные окончания в форме волосков. Внутри преддверия и полукружных каналов есть студенистая масса (эндолимфа), содержащая мелкие кислого кальция (отолиты). Уско­ренное перемещение головы вызыва­ет перемещение эндолимфы и отоли­тов, что воспринимается нервными клетками (через волоски). Вестибу­лярный аппарат, как и любая дру­гая физическая система, не отличает гравитационное воздействие от воз­действий, возникающих при уско­ренном движении системы.

Г Л А В А 5

Механические колебания и волны

Повторяющиеся движения или изменения состояния называ­ют колебаниями (переменный электрический ток, движение маятника, работа сердца и т. п.). Всем колебаниям, независи­мо от их природы, присущи некоторые общие закономер­ности. В зависимости от характера взаимодействия колеблю­щейся системы с окружающими телами различают колебания свободные, вынужденные и автоколебания. Колебания рас­пространяются в среде в виде волн. В данной главе рассмат­риваются механические колебания и волны.

§ 5.1. § 5.1. Свободные механические колебания (незатухающие и затухающие)

Свободными (собственными) колебаниями называют такие, которые совершаются без внешних воздействий за счет первона­чально полученной телом энергии. Характерными моделями та­ких механических колебаний являются материальная точка на пружине (пружинный маятник) и материальная точка на нерас­тяжимой нити (математический маятник).

В этих примерах колебания возникают либо за счет первона­чальной потенциальной энергии (отклонение материальной точки 6т положения равновесия и движение без начальной скорости), либо за счет кинетической (телу сообщается скорость в начальном

положении равновесия), либо за счет и той и другой энергии (со­общение скорости телу, отклоненному от положения равновесия). Рассмотрим пружинный маятник. В положении равновесия (рис. 5.1, а) упругая сила уравновешивает силу тяжести mg. Если оттянуть пружину на расстояние х (рис. 5.1, б), то на мате­риальную точку будет действовать большая упругая сила. Изме­нение значения упругой силы (F), согласно закону Гука, пропор­ционально изменению длины пружины или смещению х точки:

где k — коэффициент пропорциональности между силой и смеще­нием, который в данном случае является жесткостью пружины; знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону по­ложения равновесия: F < 0 при х > О, F > О при х < 0.

Другой пример. Математический маятник (рис. 5.2) отклонен от положения равновесия на такой небольшой угол α, чтобы мож­но было считать траекторию движения материальной точки пря­мой линией, совпадающей с осью ОХ. При этом выполняется при­ближенное равенство:

где х — смещение материальной точки относительно положения равновесия, I — длина нити маятника.

где k — коэффициент пропорциональности между силой и смеще­нием, который в данном случае равен

На материальную точку (рис. 5.2) действуют сила натяжения нити F и сила тяжести mg, модуль их равнодействующей равен. Сравнивая (5.3) и (5.1), видим, что в этом примере равнодейст­вующая сила подобна упругой, так как пропорциональна смеще­нию материальной точки и направлена к положению равновесия. Такие силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел, на­зывают квазиупругими.

На материальные точки, рассмотренные в этих примерах, кро­ме упругой и квазиупругой силы действует и сила сопротивления |трения), модуль которой обозначим F_c (на рисунках не показана).

Дифференциальное уравнение, описывающее движение мате­риальной точки, получаем на основании второго закона Ньютона (произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех дей­ствующих сил):

Выражение для смещения материальной точки, которое полу­чается из решения этого уравнения, рассмотрим для некоторых частных случаев.

Незатухающие колебания.Рассмотрим модель, в которой пренебрегают силой сопротивления (F_с = 0). Из (5.5) имеем:

и преобразуя, получаем следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

Его решение, в чем можно убедиться подстановкой, приводит к гармоническому колебанию:

где (ω₀t + φ„ = φ — фаза колебаний, φ₀ — начальная фаза (при t = 0), ω₀ — круговая частота колебаний, А — их амплитуда.

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются началь­ными условиями движения, т. е. положением и скоростью мате­риальной точки в момент t = 0.

Среди различных видов колебаний гармоническое колебание является наиболее простой формой.

Таким образом, материальная точка, подвешенная на пружине (пружинный маятник) или нити (математический маятник), со­вершает гармонические колебания, если не учитывать силы со­противления.

При преобразовании дифференциального уравнения гармонического колебания величина ю₀ была введена формально [см. (5.6)], однако она имеет важный физический смысл, так как определяет частоту колебаний системы и показывает, от каких факторов (параметров) эта частота зависит: от жесткости пружины и массы в одном примере, длины нити и ускорения свободного паде­ния в другом.

Период колебаний может быть найден из формулы

На основании тригонометрических формул преобразуем (5.12):

Используя (5.6), получаем период колебаний пружинного ма­ятника подставляя вместо k выражение (5.4), находим период колебаний математического маятника

Очень удобно изображать гармонические колебания с по­мощью векторных диаграмм. Этот метод состоит в следующем. Из начала оси абсцисс проведем вектор А(рис.5.3), проекция которо­го на ось ОХ равна Acos φ. Если вектор А будет равномерно вращать­ся с угловой скоростью ю₀ против часовой стрелки, то φ = ω_оf+ φ₀, где φ₀ — начальное значение , и проекция вектора А на ось ОХ бу­дет изменяться со временем по закону (5.8). В таком представлении амплитуда колебаний есть модуль равномерно вращающегося векто­ра А, фаза колебаний — угол между вектором А и осью ОХ, началь­ная фаза — начальное значение этого угла, круговая частота колеба­ний — угловая скорость вращения вектора А, смещение х колеблю­щейся точки — проекция вектора А на ось ОХ.

где v_m = Аω₀ — максимальная скорость (ампли­туда скорости).

Чтобы найти скорость материальной точки при гармоничес­ком колебании, нужно взять производную от выражения (5.8) по времени:

Сравнивая (5.13) и (5.8), замечаем, что фаза скорости на π/2 больше фазы смещения, т. е. скорость опережает по фазе смеще­ние на π/2.

Продифференцировав (5.12), найдем ускорение:

где а_т = Аω₀ — максимальное ускорение (амплитуда ускорения). Вместо (5.14) запишем

Из сравнения (5.15) и (5.8) следует, что фазы ускорения и сме­щения различаются на п, т. е. эти величины изменяются в противофазе. Графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени показаны на рис. 5.4, а их векторные диаграммы — на рис.5.5.

Затухающие колебания.В реальном случае на колеблющее­ся тело действуют силы сопротивления (трения), характер движе­ния изменяется, и колебание становится затухающим. Для того чтобы из уравнения (5.5) найти временную зависимость затухаю­щего колебания, необходимо знать, от каких параметров и как за­висит сила сопротивления. Обычно предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах эта сила пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно Скорости: F_c = -rv, где r — коэффициент трения (сопротивления), характеризующий свойства среды оказывать сопротивление.

Допустим, что частоты скла­дываемых колебаний одинаковы (ω₁ = <ω₂ = ω₀), тогда результи­рующее смещение точки

Выполним такое сложение с по­мощью векторной диаграммы. Изо­бразим положение векторов А_г и А„ в начальный момент времени (рис. 5.9), углы между этими век-

торами и осью ОХ равны начальным фазам слагаемых колебаний ω₁ и ω₂. Вектор А — амплитуда результирующего колебания. Так как А₁ и А₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью, то и сумма их — вектор А — будет вращаться с той же угловой скоро­стью, т. е. результирующее движение является гармоническим с круговой частотой ω_о:

Выразим амплитуду А этого колебания и начальную фазу φ₀ через заданные значения A₁ А₂, φ₀₁ и φ₀₂. Применяя теорему ко­синусов к треугольнику, заштрихованному на рис. 5.9, получаем

Как видно из рис. 5.9, tg φ равен отношению проекции А на ось OY к проекции А на ось ОХ, т. е. А_у/А_х. Учитывая, что проек­ция суммы равна сумме проекций, имеем:

Применительно к одномерному движению последней формуле

Подставим выражение (5.16) в уравнение (5.5) и получим:

Разделив обе части уравнения на т, запишем его в стандарт­ной форме:

После замены получаем окончательную за­пись дифференциального уравнения свободных колебаний с уче­том сил сопротивления:

где р — коэффициент затухания; ω_о — круговая частота соб­ственных колебаний системы (без затухания).

График этой функции показан на рис. 5.6 сплошной кривой 1; штриховой линией 2 изображено изменение амплитуды:

Решение (5.19) существенно зависит от знака разности ω² = ω— Р², где ω — круговая частота затухающих колебаний. При ω² - Р² > 0 круговая частота ω является действительной величи­ной и решение уравнения (5.19) будет следующим:

где значение А_о приведено на рисунке.

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента тре­ния и определяется формулой:

При очень малом трении период затухающего колеба­ния близок к периоду незатухающего свободного колебания:

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэф­фициентом затухания: чем сильнее тормозящее действие среды, тем больше р и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практи­ке, однако, степень затухания часто характеризуют логарифми­ческим декрементом затухания, понимая под этим величину, равную натуральному логарифму

отношения двух последовательно.

Следовательно, коэффициент затухания и логарифмический документ затухания связаны достаточно простой зависимостью:

При сильном затухании φ² > ω² из формулы (5.22) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже не будет периодическим и называется апериодическим..

Возможные апериодические движения представлены в виде графиков на рис. 5.7. Этот случай применительно к электриче­ским явлениям рассматривается в гл. 14.