Теорема о сложении скоростей в относительном движении.

Рассмотрим некоторую вектор-функцию , проекции которой в относительной системе координат , являются заданными функциями времени, и сравним между собой векторные производ­ные от этой функции, вычисленные наблюдателями в абсолютной и относительной системах координат. Для этого, замечая, что ,составим производную по времени от вектора в абсолютной си­стеме координат

(2.33)

Первые три слагаемые в выражении (2.33), являются производной от вектора , вычисленной в предположении неизменности направления единичных векторов осей относительной системы координат.

Такое выражение естественно назвать относительной производной. Для преобразования остальных слагаемых векторного выражения, вспомним формулу (2.24)-скорость вектора постоянного по модулю есть , откуда следует , где - вектор угловой скорости вращения относитель­ной системы координат . Таким образом, равенство (2.23) приобретает вид

(2.34)

и мы приходим к следующей весьма важной для дальнейшего лемме: абсолютная производная по времени от вектора равна геометрической сумме относительной производной того же вектора и векторного произведения вектора угловой скорости вращения отно­сительной системы координат на дифференцируемый вектор.

Применим доказанную лемму для вывода теоремы о сложении скоростей. С этой целью вычислим абсолютную производную по времени от обеих частей равенства (2.32) будем иметь:

или . (2.35)

Но сумма первых двух слагаемых справа по известной формуле для скоростей точек твердого тела (формула 2.30) есть переносная скорость . Итак, окончательно получим

. (2.36)

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скорости.