Оптимальная линейная фильтрация непрерывных сигналов

Рассмотрим теорию оптимальной линейной фильтрации стационарных процессов – фильтр Колмогорова-Винера или оптимальный линейный фильтр (ОЛФ).

Пусть на входе линейного фильтра с передаточной функцией H(jw) действует сумма полезного сигнала s(t) и помехи n(t). Отклик фильтра на это действие – восстановленный полезный сигнал (оценка сигнала s(t)). Будем считать, что s(t) и n(t) – стационарные взаимнонекоррелированные процессы с известными спектральными плотностями мощности (СПМ) G_s(f) и G_n(f). Нужно найти такую функцию H(jw), которая обеспечивает минимум среднего квадрата ошибки восстановления сигнала

. (22.1)

Иначе говоря, критерием оптимальности фильтра является минимум среднего квадрата ошибки восстановления сигнала. В такой постановке задача была решена А.Н. Колмогоровым (1939 г.) для дискретных случайных последовательностей и Н. Винером (1941 г.) для непрерывных процессов. Поэтому оптимальный (в указанном смысле) линейный фильтр называется фильтром Колмогорова-Винера.

Действующие на входе фильтра сигнал s(t) и помеха n(t) проходят через фильтр независимо и создают на выходе фильтра соответственно фильтрованные сигнал s_вых(t) и помеху n_вых(t). С учетом этого ошибка восстановления запишется

. (22.2)

Слагаемое Ds(t) отражает составляющую ошибки, обусловленную линейными искажениями полезного сигнала фильтром. Средний квадрат ошибки запишется

. (22.3)

Величина линейных искажений полезного сигнала фильтром зависит от степени отличия АЧХ фильтра от постоянной величины и степени отличия ФЧХ от линейной зависимости. Средний квадрат шума на выходе фильтра зависит только от АЧХ фильтра. Для того чтобы линейные искажения полезного сигнала были минимальными, ФЧХ фильтра должна быть линейной

j(w) = –wt₀, (22.4)

где t₀ – задержка сигнала в фильтре. Ясно, что с учетом задержки соотношение (22.1) имеет вид . Это уточнение не влияет на критерий оптимальности, поскольку в системах связи и вещания ожидаемая задержка сигнала в фильтре несущественная.

Перейдем к определению АЧХ фильтра. Для этого определим спектральные плотности мощностей левой и правой частей соотношения (22.2)

. (22.5)

Выразим СПМ помехи на выходе фильтра через СПМ помехи n(t) и искомую АЧХ фильтра:

. (22.6)

По определению СГП ергодичного процесса

, (22.7)

где S_Ds(w) – амплитудный спектр ошибки за счет линейных искажений Ds(t);

Т – длительность реализации Ds(t).

Поскольку амплитудный спектр сигнала s_вых(t) определяется как S(w)×H(w), где S(w) – амплитудный спектр сигнала s(t), то

. (22.8)

Переходя от амплитудных спектров к СПМ, получим

. (22.9)

После подстановки соотношений (22.6) и (22.9) в (22.5) получим

. (22.10)

Средний квадрат ошибки восстановления (средняя мощность) вычисляется

. (22.11)

Поскольку функция G_e(w) ³ 0 на всех частотах, то, обеспечив min G_e(w) на всех частотах, достигнем минимума величины . Искомую АЧХ H(w) определим из условия экстремума функции G_e(w):

; (22.12)

. (22.13)

После решения уравнения (22.13) получим выражение для АЧХ фильтра

. (22.14)

На рис. 22.1 иллюстрируется АЧХ ОЛФ, определенная соотношением (22.14).

Из рис. 22.1 видно особенности АЧХ ОЛФ:

- на частотах, где G_n(f) = 0, значение АЧХ H(f) = 1 – в этих областях частот фильтр не должен вносить искажений;

- на частотах, где G_s(f) = 0, значение АЧХ H(f) = 0 – в этих областях частот фильтр должен полностью ослаблять составляющие помехи;

- на частотах, на которых G_s(f) = G_n(f), АЧХ H(f) = 0,5;

- на других частотах значения АЧХ определяются вычислениями по формуле (22.14).

Подставим выражение (22.14) в соотношение (22.10) для определения СПМ ошибки:

(22.15)

При подстановке соотношения (22.15) в выражение (22.11) можно вычислить средний квадрат ошибки восстановления сигнала .

Из (22.15) видно, что ошибка равна нулю только в том случае, когда G_s(f)G_n(f) = 0, т.е. когда спектры сигнала и помехи не перекрываются (хотя бы один с сомножителей равен нулю).

Перепишем соотношение (22.14) в виде

. (22.16)

Из последнего соотношения видно, что коэффициент передачи оптимального фильтра на каждой из частот тем меньше, чем больше отношение G_n(f)/G_s(f) на этой частоте.

Следует отметить, что оптимальные линейные фильтры, обеспечивающие минимум ошибки , существенным образом отличаются от согласованных фильтров, рассмотренных ранее. Если основное назначение рассмотренных здесь фильтров состоит в наилучшем воспроизведении формы сигнала, то задача согласованных фильтров состоит в формировании максимального отношения сигнал/шум в момент отсчета.

При использовании ОЛФ в аналоговых системах связи и вещания выявляется такая особенность. Имеет место высокое отношение спектральных плотностей сигнала и шума: G_s(f)/G_n(f) >> 1. Выражение для АЧХ ОЛФ (22.14) в случае полосовых сигналов переходит в следующее

(22.17)

где f_min и f_max – граничные частоты спектра сигнала. В случае НЧ сигналов

(22.18)

где F_max – максимальная частота спектра сигнала.

Таким образом, оптимальные линейные фильтры в системах связи и вещания имеют П-образную АЧХ.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте критерий оптимальности ОЛФ.

2. При каком условии ошибку восстановления сигнала можно свести к нулю?

3. Объясните отличие ОЛФ и согласованного фильтра с точки зрения ослабления помех.

23. Сравнение помехоустойчивости оптимальных
демодуляторов сигналов аналоговых видов модуляции

Мы выяснили, что в условиях слабых помех демодулятор должен содержать: фильтр додетекторной обработки, детектор, фильтр последетекторной обработки. Для того чтобы демодулятор был оптимальным, фильтры должны быть оптимальными. В условиях слабой помехи АЧХ фильтров должны быть П-образными:

– фильтр додетекторной обработки – полосовой фильтр, граничные частоты полосы пропускания которого совпадают с граничными частотами спектра модулированного сигнала;

– фильтр последетекторной обработки – ФНЧ, частота среза которого совпадает с максимальной частотой спектра первичного сигнала F_max.

Помехоустойчивость определим в условиях действия АБГШ. Анализ помехоустойчивости состоит в определении выигрыша демодулятора в отношении сигнал/шум

. (23.1)

Для определения выигрыша нужно определить 4 величины: P_b, P_e, P_s, P_n.

Оптимальныйдемодулятор сигнала балансовой модуляции. Математически сигнал БМ записывается

s_БМ(t) = A₀b(t)cos2pf₀t. (23.2)

Полосовой фильтр имеет полосу пропускания DF_БМ = 2F_max. Для детектирования БМ сигнала необходимо использовать синхронный детектор (рис. 23.1). ФНЧ, являющийся обязательным элементом схемы синхронного детектора, используется как фильтр последетекторной обработки, т.е. частота среза фильтра равна F_max, а АЧХ в полосе пропускания постоянная и равна 1.

Средняя мощность модулированного сигнала

P_s = = = 0,5 P_b. (23.3)

Средняя мощность помехи на входе демодулятора P_n.

На выходе перемножителя за счет сигнала имеем

A₀b(t)cos2pf₀t×2cos2pf₀t = A₀b(t) + A₀b(t) cos2p2f₀t. (23.4)

ФНЧ пропускает первый компонент, а второй ослабляет. С учетом умножения на 1/A₀ на выходе демодулятора получим b(t). Его средняя мощность равняется P_b.

Помеху на входе синхронного детектора (как полосовой процесс) представим квадратурными составляющими

n(t) = N_C(t)cos2pf₀t + N_S(t)sin2pf₀t. (23.5)

Мощность помехи делится поровну между квадратурными составляющими, мощность каждой из них P_n/2. Квадратурная составляющая помехи не проходит через синхронный детектор, и на выходе демодулятора получим

e(t) = N_C(t)/A₀. (23.6)

Поскольку = P_n/2, а левая часть равенства равняется 0,5 , то = P_n, а

P_e = P_n/ . (23.7)

Определим выигрыш демодулятора

g_БМ = = 2. (23.8)

Оптимальныйдемодулятор сигнала однополосной модуляции. Математически сигнал ОМ записывается

s_ОМ(t) = A₀ b(t)cos2pf₀t ± A₀ sin2pf₀t. (23.9)

Оптимальный демодулятор сигнала ОМ выполняется по схеме, приведенной на рис. 23.1. Полосовой фильтр имеет полосу пропускания DF_ОМ = F_max.

Средняя мощность модулированного сигнала

P_s = = P_b. (23.10)

Средняя мощность помехи на входе синхронного детектора P_n.

Синхронный детектор не пропускает квадратурную составляющую сигнала ОМ, поэтому на основе анализа демодуляции сигнала БМ на выходе демодулятора сигнала ОМ получим сигнал b(t). Его средняя мощность равняется P_b. Прохождение помехи через синхронный детектор проанализирован выше и получено значение мощности помехи на выходе демодулятора (23.7).

Определим выигрыш демодулятора

g_ОМ = = 1. (23.11)

Оптимальныйдемодулятор сигнала амплитудной модуляции набазесинхронного детектора. Математически сигнал АМ записывается

s_АМ(t) = A₀(1 + m_АМ×b(t))cos2pf₀t. (23.12)

Схема демодулятора сигнала АМ приведена на рис. 11.5. Полосовой фильтр имеет полосу пропускания DF_АМ = 2F_max. Исходя из приведенного выше анализа, очевидно, что на выходе ФНЧ за счет сигнала получим A₀ + A₀m_АМ×b(t). Фильтр верхних частот ослабляет постоянную составляющую A₀ и пропускает вторую составляющую A₀m_АМ×b(t).

Средняя мощность модулированного сигнала

P_s = = 0,5 (1 + m_АМ P_b). (23.13)

Для дальнейшего анализа удобно учесть (см. модуль 1), что P_b = 1/ , где K_A – коэффициент амплитуды сигнала b(t).

Прохождение шума через синхронный детектор проанализирован выше. Мощность шума на выходе демодулятора сигнала АМ

P_e = . (23.14)

Определим выигрыш демодулятора

= . (23.15)

Демодулятор сигнала амплитудной модуляции набазедетектора огибающей. Схема такого демодулятора приведена на рис. 23.3. Она отличается от схемы демодулятора на рис. 23.2 типом амплитудного детектора – синхронный детектор заменен детектором огибающей с целью упрощения схемы демодулятора. Выходной сигнал детектора огибающей пропорциональный огибающей входного сигнала .

Поэтому помеху на выходе демодулятора создают как косинусная, так и синусная составляющие. Мощность помехи e(t) будет вдвое большей, чем в случае синхронного детектора: Выигрыш демодулятора будет вдвое меньшим:

(23.16)

Оптимальныйдемодулятор сигнала фазовой модуляции. Математически сигнал ФМ записывается

s_ФМ(t) = A₀ cos(2pf₀t + Δj_д∙b(t)), (23.17)

где Δj_д – девиация фазы сигнала, которую часто называют индексом фазовой модуляции m_ФМ.

Схема оптимального демодулятора сигнала ФМ приведена на рис. 23.4: ФНЧ1 и ФНЧ2 имеют частоты среза F_max(m_ФМ + 1); ФНЧ3 – фильтр последетекторной обработки с частотой среза F_max; АЧХ фильтров постоянная в полосах пропускания и равна 1; ФД – фазовый детектор.

Средняя мощность модулированного сигнала

. (23.18)

Средняя мощность исходного сигнала P_b = 1/ .

Средняя мощность помехи на входе ФД P_n. Прохождение помехи через ФД анализируют при отсутствии модулирующего сигнала, т.е. b(t) º 0, и s(t) = A₀ cos2pf₀t. Помеху представляют квадратурными составляющими в виде (23.5). Тогда

. (23.19)

В условиях слабой помехи |N_c(t)| << A₀, и помеха на выходе ФД N_s(t)/(A₀m_ФМ), а ее мощность равна P_n/(A₀m_ФМ)².

Полоса пропускания ФНЧ3 в раз меньше, чем полоса пропускания ФНЧ2 и ширина спектра помехи N_s(t).

Поскольку спектр помехи равномерный, то мощность помехи e(t) в m_ФМ + 1 раз меньше, чем мощность помехи N_s(t)/(A₀m_ФМ) и определяется

. (23.20)

Определим выигрыш демодулятора

(23.21)

Оптимальныйдемодулятор сигнала частотной модуляции.Математически сигнал ЧМ записывается

, (23.22)

где Δf_д – девиация частоты. Для последующего изложения удобно использовать индекс ЧМ m_ЧМ = Δf_д/F_max.

Схема оптимального демодулятора сигнала ЧМ приведена на рис. 23.5. Схема отличается от схемы демодулятора ФМ сигнала (рис. 23.4) наличием дифференциатора; ЧД – частотный детектор.

Средняя мощность модулированного сигнала

. (23.23)

Средняя мощность сигнала на выходе демодулятора P_b =1/ .

Средняя мощность помехи на входе ЧД P_n.

Прохождение помехи через ЧД аналогично прохождению помехи через ФД, следует рассмотреть прохождение помехи N_s(t)/(A₀2pΔf_д) через дифференциатор. Поскольку помеха N_s(t) – квазибелый шум в полосе частот F_max(m_ЧМ + 1), то спектральная плотность мощности этой помехи на входе дифференциатора

Поскольку передаточная функция дифференциатора jω, то спектральная плотность мощности помехи на выходе дифференциатора

(23.24)

Определим мощность помехи e(t)

Определим выигрыш демодулятора

. (23.25)

При анализе мы выявили, что спектральная плотность мощности помехи e(t) имеет параболическую зависимость – формула (23.24):

G_e(f) = kf ², (23.26)

где k – коэффициент пропорциональности. Эта особенность спектра часто учитывается при разработке систем передачи с ЧМ.

Сравнениеаналоговых систем передачи.Основными параметрами, по которым сравниваются системы передачи, является выигрыш демодулятора в отношении сигнал/шум g и коэффициент расширения полосы частот при модуляции a = ΔF_s/F_max. Для рассмотренных методов модуляции эти параметры сведены в табл. 23.1.

Проведем сравнение числовых значений параметров при некоторых исходных данных: K_А = 5; m_ЧМ = m_ФМ = 6; m_АМ = 1.

Вычисления дают: g_АМ = 0,038; g_БМ = 2; g_ОМ = 1; g_ЧМ = 60,5; g_ФМ = 20,2.

Сравнение числовых значений выигрыша показывает, что самой низкая помехоустойчивость присуща системе передачи с АМ: выигрыш g_АМ << 1, что логически назвать проигрышем. Однако АМ используется в системах радиовещания, где этот недостаток компенсируется простотой демодулятора на основе детектора огибающей (огромное количество более простых радиоприемников и один радиопередатчик с большей мощностью, чем при использовании БМ и ОМ).

Наибольшая помехоустойчивость присуща системе передаче с ЧМ. «Платой» за высокую помехоустойчивость является широкая полоса частот сигнала. Так, при F_max = 3,4 кГц ΔF_ЧМ = 47,6 кГц, в то время как полоса частот сигнала ОМ ΔF_ОМ = 3,4 кГц.

Таблица 23.1 – Основные параметры аналоговых систем передачи

Метод модуляции	g	a	Примечания
АМ			Синхронный детектор
		Детектор огибающей
БМ
ОМ
ЧМ	×a	2(mЧМ + 1)	rвх > rпр
ФМ	×a	2(mФМ + 1)	rвх > rпр

Порогпомехоустойчивости демодулятора сигналаЧМ.Из соотношения для выигрыша демодулятора ЧМ (23.25) вытекает, что, чем больше индекс m_ЧМ, тем больше выигрыш (правда, ценой увеличения полосы частот сигнала). Может показаться, что это дает возможность работать демодулятору со слабым сигналом (низким отношением сигнал/шум). Но, когда отношение сигнал/шум на входе демодулятора r_вх меньше порогового отношения сигнал/шум r_пр, то выигрыш демодулятора резко уменьшается (рис. 23.6). Такое явление резкого уменьшения величины выигрыша называют порогом помехоустойчивости приема сигнала ЧМ.

Пороговое отношение сигнал/шум r_пр несколько зависит от значения m_ЧМ (рис. 23.6). Считают, что демодулятор по схеме стандартного частотного детектора характеризуется ориентировочным значением r_пр = 10. Область значений r_вх, когда r_вх < r_пр, – это нерабочая область.

Были предложены так называемые порогопонижающие схемы демодуляторов сигналов ЧМ, которые получили названия:

- демодулятор со следящим фильтром;

- демодулятор с обратной связью по частоте;

- демодулятор на основе синхронно-фазового детектора.

Схемы этих демодуляторов описаны в специальной литературе. Демодуляторы, которые выполнены по таким схемам, характеризуются пороговым отношением сигнал/шум r_пр = 5...7 дБ (в зависимости от исходных данных на систему передачи). Снижение r_пр разрешает:

1) работать демодулятору с более низким отношением сигнал/шум;

2) увеличить выигрыш, так как

,

и если допустить уменьшение отношения сигнал/шум r_вх, то можно увеличить индекс m_ЧМ, а увеличение m_ЧМ приводит к увеличению выигрыша.

Литература

Основная

1. Стеклов В.К., Беркман Л.Н. Теорія електричного зв’язку: Підручник для ВНЗ під редакцією В.К. Стеклова. – К.: Техніка, 2006.

2. Теория электрической связи: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик, М.В. Назаров; Под ред. Д.Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 1998.