Согласованный фильтр


В разделе 3 введенное понятие «согласованный фильтр» (СФ) как устройство для вычисления коэффициента представления демодулируемого сигнала в ортонормированном базисе. СФ находит более широкое применение в аппаратуре систем передачи. Поэтому ниже рассматривается СФ из общих позиций.

Есть линейный четырехполюсник (фильтр) с передаточной функцией H(jw). На его вход подается сумма детерминированного импульсного сигнала s(t) и помехи n(t): z(t) = s(t) + n(t). На выходе четырехполюсника имеет место сумма откликов на сигнал и помеху y(t) = ys(t) + yn(t). К выходу четырехполюсника подключен дискретизатор для взятия отсчета в момент t0 (рис. 4.1). Такое устройство используется для ослабления помехи и взятия отсчета с целью определения амплитудного значения импульса s(t).

Фильтр называется согласованным с сигналом s(t), если при подаче на его вход суммы сигнала s(t) и помехи n(t) на его выходе в определенный момент времени t0 имеет место максимальное отношение мгновенной мощности сигнала ys2(t0) к средней мощности шума Pn вых.

Согласованный фильтр (СФ) используется не только для максимального ослабления помехи, но и для выполнения некоторых других важных преобразований сигналов и помех. Поэтому рассмотрим свойства УФ.

1. Найдем передаточную функцию H(jw). Сигнал s(t) задан, а помеха n(t) – белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2.

Пусть

– (4.1)

спектральная плотность сигнала s(t). Тогда спектральная плотность выходного сигнала ys(t) определяется

. (4.2)

Отсчетное значение сигнала ys(t0) определим как обратное преобразование Фурье от Sвых(jw) для момента времени t0

. (4.3)

Мощность шума на выходе фильтра (средний квадрат отсчета шума yn(t0)) определяются

. (4.4)

Запишем отношение мгновенной мощности сигнала ys2(t0) к средней мощности шума Pn вых в отсчетный момент

. (4.5)

Будем искать передаточную функцию H(jw), при которой имеет место максимальное значение числителя в соотношении (4.5). Воспользуемся тем, что интеграл в числителе – скалярное произведение двух функций S*(jw) и (S*(jw) – функция, комплексно спряженная с функцией S(jw)). Скалярное произведение функций максимальное, если функции совпадают с точностью до произвольного положительного коэффициента c, т.е. = с×S*(jw). Значит, максимум числителя (4.5) имеет место при передаточной функции

. (4.6)

После подстановки выражения (4.6) в соотношение (4.5) получим

. (4.7)

Здесь использовано, что энергия сигнала s(t) определяется

. (4.8)

Видим, что при выполнении соотношения (4.6) обеспечивается не только максимум числителя отношения сигнал/шум (4.5), но и максимум этого отношения (значение r не зависит от конкретного вида передаточной функции H(jw), входящей в знаменатель). Таким образом, задача определения передаточной функции СФ H(jw) решена.

2. Соотношение (4.7) определяет максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в отсчетный момент. Это отношение принято называть пиковым

. (4.9)

Определим выигрыш в отношении сигнал/шум, показывающий во сколько раз увеличивается отношение сигнал/шум при фильтрации СФ,

, (4.10)

где Fш – шумовая полоса помехи на входе фильтра;

Ts – длительность сигнала s(t);

Ps и Pn – средние мощности сигнала и помехи на входе фильтра.

Из выражения (4.10) видно, что при определенных соотношениях между шумовой полосой помехи и длительностью сигнала выигрыш может принимать большие значения.

3. Найдем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики СФ. Передаточная функция любой линейной электрической цепи определяет ее АЧХ и ФЧХ:

H(jw) = H(w) eхр(jj(w)), (4.11)

где H(w) – АЧХ цепи, j(w) – ФЧХ цепи.

Представим спектральную плотность сигнала s(t) через модуль и аргумент

S(jw) = S(w) exp(jy(w)), (4.12)

где S(w) – амплитудный спектр сигнала, y(w) – фазовый спектр сигнала.

После подстановки (4.11) и (4.12) в (4.6) получим, что АЧХ УФ

H(w) = сS(w) (4.13)

с точностью до произвольного коэффициента совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым фильтр согласован. Коэффициент передачи CФ больше на тех частотах, на которых больше составляющие сигнала s(t).

Равенство аргументов левой и правой частей (4.6) дает

j(w) = –y(w) – wt0, (4.14)

что трактуется так: ФЧХ СФ с точностью до линейного слагаемого противоположна по знаку фазовому спектру сигнала, с которым фильтр согласован.

Для выяснения физической сущности ФЧХ СФ рассмотрим некоторую составляющую сигнала частоты fi: Aicos(2pfi t+ yi). Эта составляющая на выходе CФ определяется:

Ai(fi)cos(2pfit+ yi + j(fi)) = Ai(fi)cos(2pfit + yi – yi – 2pfit0).

Полная фаза колебания равняется 2pfi(tt0). В момент t = t0 полная фаза колебания равна нулю независимо от частоты. В этот момент все составляющие находятся в фазе и при сложении дают максимально возможное значение отклика.

4. Найдем импульсную реакцию СФ как обратное преобразование Фурье от передаточной функции

(4.15)

Видим, что импульсная реакция СФ является зеркальным отображением сигнала, с которым фильтр согласован, относительно точки t0 в масштабе с.

Пример 4.1. Построим график импульсной реакции фильтра, согласованного с сигналом

Условием физической реализуемости линейной электрической цепи является требование к ее импульсной реакции: g(t) º 0 для значений t < 0. Из рис. 4.2 видно, что для выполнения этого условия необходимо наложить требование на момент отсчета: t0 ³ Ts, где Ts – длительность сигнала s(t).

 

 

 


а

 

5. Пусть на входе СФ действует произвольный сигнал z(t). Отклик фильтра определяется интегралом Дюамеля

, (4.16)

где Kzs(t) – функция взаимной корреляции сигналов z(t) и s(t).

Из выражения (4.16) вытекает, что форма сигнала на выходе СФ определяется функцией взаимной корреляции входного сигнала и сигнала, с которым фильтр согласован, а именно, она повторяет функцию взаимной корреляции в масштабе с и смещена вправо на t0.

Если в соотношении (4.16) положить с = 1 и t0 = Ts, то легко убедиться, что y(Ts) дает значение скалярного произведения сигналов z(t) и s(t). Это свойство СФ использовалась выше для определения коэффициентов разложения – соотношение (3.4).

6. Пусть на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован. Тогда на основании (4.16) запишем

, (4.17)

где Ks(t) – функция корреляции сигнала s(t).

Таким образом, если на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован, то отклик фильтра определяется функцией корреляции сигнала, а именно, она повторяет функцию корреляции сигнала в масштабе с и смещена вправо на t0.

Упражнение 4.1. Проиллюстрируем рассмотренные свойства СФ на примере фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом амплитуды А и длительности Ts. Пусть с = 1/A и t0 = Ts. Импульсная реакция фильтра, согласованного с П-импульсом, имеет П-образную форму, амплитуду 1 и длительность Ts, т.е. импульсная реакция совпадает с сигналом (рис. 4.3, а).

Спектральная плотность П-импульса определяется преобразованием Фурье

Sп(jw) = . (4.18)

На основе соотношения (4.6) получим выражение для передаточной функции фильтра, согласованного с П-импульсом, если с = 1/A и t0 = Ts

H(jw) = . (4.19)

Из этого соотношения вытекает, что схема фильтра, согласованного с П‑импульсом, состоит из интегратора (с передаточной функцией 1/jw), устройства задержки на время Ts (с передаточной функцией exp(–jwTs)) и вычитателя (рис. 4.3, в). На этом рисунке цифрами обозначены отдельные точки схемы для обсуждения ее работы.

Легко получить выражение для АЧХ фильтра, согласованного с П‑импульсом. Окончательное выражение для АЧХ после перехода к сменной f имеет вид функции sin(x)/x

. (4.20)

АЧХ СФ и амплитудный спектр сигнала показаны на рис 4.3, б.

На рис. 4.4, а показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход d-функции. На выходе схемы наблюдается импульсная реакция. На рис. 4.4, б показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход импульса, с которым фильтр согласован. На выходе схемы наблюдается отклик, совпадающий с корреляционной функцией П-импульса длительностью Тs (см. модуль 1).

 

 

       
 
 
   

 


Контрольные вопросы

1. Что является критерием оптимальности согласованного фильтра?

2. Пересчитайте свойства согласованного фильтра.

3. Как определяется пиковое отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?

5. Применение согласованных фильтров
в демодуляторах сигналов аим-м

Рассмотрим совместно схемы модулятора и демодулятора сигналов АИМ-М (рис. 5.1). Схема модулятора строится на основе описания канальных символов сигналов АИМ-М

, (5.1)

где А(t) – импульс с определенными частотными и временными характеристиками;

ai – коэффициент, отображающий переданные биты.

На схеме КМК – кодер модуляционного кода, который вырабатывает коэффициенты ai на основе входного цифрового сигнала – на каждом тактовом интервале блоку из n = log2M бит ставится в соответствие коэффициент ai. Этот коэффициент подается на вход формирующего фильтра (ФФ) сигналом aid(t). ФФ формирует импульс aiА(t).

Схема демодулятора построена на основе материала предыдущих разделов. На вход согласованного фильтра поступает сумма сигнала и помехи aiА(t) + n(t). Согласованный фильтр ослабляет помеху, и на его выходе имеет место полезный сигнал aiР(t) и помеха z(t). Дискретизатор берет отсчет и выдает оценку коэффициента ai. Максимальное значение импульса P(t) в момент отсчета равняется 1, поэтому = ai + z (оценку можно рассматривать как коэффициент z0 представления сигнала z(t) в одномерном пространстве относительно базисной функции А(t)). Дискретизатор управляется последовательностью импульсов от схемы тактовой синхронизации (ТС), что обеспечивает взятие отсчетов в моменты максимального отношения сигнал/шум. На основе полученной от дискретизатора оценки схема решения (СР) выносит решение о номере переданного канального символа и выдает решение двоичными символами согласно модуляционному коду.

 
 

 

 


Поскольку формирующий фильтр возбуждается d-функцией, то амплитудный спектр импульса A(t) равняется АЧХ ФФ

SA(f) = HФФ(f). (5.2)

Амплитудный спектр импульса Р(t) определяется

SP(f) = SA(fHСФ(f), (5.3)

где HСФ(f) – АЧХ фильтра, согласованного с импульсом A(t).

Импульс на выходе СФ Р(t) должен удовлетворять условию отсутствия межсимвольной интерференции (МСИ), поэтому потребуем, чтобы спектр SP(f) был спектром Найквиста N(f):

SP(f) = N(f). (5.4)

Воспользуемся свойством СФ: его АЧХ совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым он согласован (при с = 1)

HУФ(f) = SA(f). (5.5)

Учитывая равенства (5.2)...(5.5) приходим к выводу, что

HФФ(f) = HСФ(f) = . (5.6)

Говорят, что АЧХ ФФ и СФ описываются зависимостью «корень квадратный из спектра Найквиста».

Обычно спектр Найквиста описывают зависимостью «поднятый косинус»

N(f) = (5.7)

где Т – тактовый интервал;

fн = 1/(2Т) – частота Найквиста;

a – коэффициент ската спектра.

Зависимость «корень квадратный из спектра Найквиста» описывается

= (5.8)

На рис. 5.2 показаны зависимости N(f) и при a = 0,4. Из рис. 5.2, б видно, что формирующий и согласованный фильтры являются фильтрами нижних частот, но со специальной АЧХ. Если в качестве ФФ и СФ использовать фильтры Баттерворта, Чебышева и др., синтезированные с целью приближения их АЧХ к П-образной, то не будет выполняться условие отсутствия МСИ.

 
 

 


Выражение для импульса A(t) можно получить как обратное преобразование Фурье от зависимости , считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

(5.9)

Функцию P(t) можно получить как обратное преобразование Фурье от N(f), считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

P(t) = . (5.10)

На рис. 5.3 показаны графики импульсов A(t) и P(t) при a = 0,4. Из графика P(t) видно, что его амплитудное значение равно 1. А это значит, что при передаче импульса aiА(t) отсчет на выходе дискретизатора равен ai. Из рис. 5.3 видно, что импульс P(t) принимает нулевые значения при t = ± (k = 1, 2, 3,…), т.е. удовлетворяет условию отсчетности. Импульс A(t) не принимает нулевые значения при t = ± (k = 1, 2, 3, …).

       
   
 
 

 

 


Определим энергию импульса A(t), что необходимо в дальнейшем анализе,

. (5.11)

Результат получен, исходя из того, что интеграл равняется площади под кривой, описываемой подынтегральной функцией (рис. 5.2, а). Поскольку функция N(f) имеет кососимметричный скат, то эта площадь равняется площади прямоугольника высотой Т и основанием fн = 1/(2Т). Полученное значение позволяет легко определять энергию сигнала :

. (5.12)

Для дальнейшего анализа необходимо также значение средней мощности шума на выходе СФ, АЧХ которого описывается зависимостью , при условии, что спектральная плотность мощности шума на входе СФ N0/2

. (5.13)

При интегрировании использован тот же подход, что и при вычислении интеграла (5.11). Значение СКО шума на выходе СФ равняется

. (5.14)

Учитывая (5.12) и (5.14), легко убедиться, что отношение сигнал/шум в момент отсчета

(5.15)

соответствует свойству согласованного фильтра (4.9).

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте назначение формирующего и согласованного фильтров.

2. Сформулируйте назначение тактовой синхронизации.

3. Как определяется СКО шума на выходе СФ?

Коррелятор

При анализе свойств согласованных фильтров была установлена связь между выходным сигналом y(t) и входным сигналом z(t) – соотношение (4.16). Положим с = 1, t0 = Ts и при этих условиях из соотношения (4.16) определим y(Ts). При этом учтем, что сигнал s(t) существует на интервале (0, Ts):

. (6.1)

Из последнего соотношения вытекает, что можно выполнить оптимальную обработку сигнала с помехой z(t) = s(t) + n(t) схемой, работа которой описывается этим соотношением. Устройство, работа которого описывается соотношением (6.1), называется коррелятором, он рассматривался в разделе 3.

На рис. 3.2 приведена схема коррелятора. Она содержит генератор сигнала s(t) – точной копии обрабатываемого сигнала, перемножителя и интегратора со сбросом – в момент окончания сигнала s(t) дискретизатором берется отсчет, а интегратор приводится в нулевое состояние, чтобы быть готовым к обработке следующего сигнала.

Из описания схемы понятно, что остались не показанными цепи синхронизации генератора сигнала s(t), цепи управления дискретизатором и сбросом интегратора.

Эквивалентность обработки сигнала с помехой согласованным фильтром и коррелятором заключается в том, что в обоих случаях

. (6.2)

Однако процессы, которые имеют место в схемах согласованного фильтра и коррелятора, разные. Проиллюстрируем это на примере обработки радиоимпульса s(t) (рис. 6.1, а). На выходе согласованного фильтра наблюдается отклик в виде корреляционной функции сигнала s(t) (рис. 6.1, б). На выходе фильтра берется отсчет ys(Тs). На рис. 6.1, в показан сигнал на выходе интегратора со сбросом коррелятора ys(t) и отсчетное значение на выходе коррелятора ys(Тs). Несмотря на то, что процессы разные, на выходах обеих схем отношения сигнал/шум одинаковые

, (6.3)

где s – СКО отсчета y(t).

Соотношения (6.2) и (6.3) верные для коррелятора, если время обработки сигнала коррелятором равно длительности сигнала. Иная ситуация имеет место при обработке импульсов с существенно ограниченным спектром, например, импульсов Найквиста. В этом случае длительность импульса может принимать значение Ts = (8...20)Т, где Т – длительность тактового интервала. При демодуляции сигналов цифровой модуляции время обработки коррелятором не может быть больше Т.

На рис. 6.2 показан импульс A(t). Заштрихованная площадь под кривой A(t) на интервале (–Т/2, Т/2) показывает результат интегрирования коррелятором – при обработке импульса не используются значения импульса на интервалах (–¥, –Т/2) и (Т/2, ¥). Поэтому отношение сигнал/шум на выходе коррелятора меньше, чем при обработке согласованным фильтром. Время обработки согласованным фильтром равняется длительности его импульсной реакции, а она равна длительности сигнала Ts, и все значения сигнала используются при обработке. По этой причине коррелятор применялся в демодуляторах сигналов цифровой модуляции, которые использовали слабо фильтрованные П‑импульсы, когда длительность сигнала практически равнялась длительности тактового интервала. При использовании импульсов с существенно ограниченным спектром применяются согласованные фильтры.

Контрольные вопросы

1. Изобразите схему коррелятора и объясните его работу.

2. В чем заключаются эквивалентность и отличие обработки сигнала с помехой согласованным фильтром и коррелятором?

 

 

 




Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 5377;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.043 сек.