Согласованный фильтр

В разделе 3 введенное понятие «согласованный фильтр» (СФ) как устройство для вычисления коэффициента представления демодулируемого сигнала в ортонормированном базисе. СФ находит более широкое применение в аппаратуре систем передачи. Поэтому ниже рассматривается СФ из общих позиций.

Есть линейный четырехполюсник (фильтр) с передаточной функцией H(jw). На его вход подается сумма детерминированного импульсного сигнала s(t) и помехи n(t): z(t) = s(t) + n(t). На выходе четырехполюсника имеет место сумма откликов на сигнал и помеху y(t) = y_s(t) + y_n(t). К выходу четырехполюсника подключен дискретизатор для взятия отсчета в момент t₀ (рис. 4.1). Такое устройство используется для ослабления помехи и взятия отсчета с целью определения амплитудного значения импульса s(t).

Фильтр называется согласованным с сигналом s(t), если при подаче на его вход суммы сигнала s(t) и помехи n(t) на его выходе в определенный момент времени t₀ имеет место максимальное отношение мгновенной мощности сигнала y_s²(t₀) к средней мощности шума P_{n вых}.

Согласованный фильтр (СФ) используется не только для максимального ослабления помехи, но и для выполнения некоторых других важных преобразований сигналов и помех. Поэтому рассмотрим свойства УФ.

1. Найдем передаточную функцию H(jw). Сигнал s(t) задан, а помеха n(t) – белый шум со спектральной плотностью мощности N₀/2.

Пусть

– (4.1)

спектральная плотность сигнала s(t). Тогда спектральная плотность выходного сигнала y_s(t) определяется

. (4.2)

Отсчетное значение сигнала y_s(t₀) определим как обратное преобразование Фурье от S_вых(jw) для момента времени t₀

. (4.3)

Мощность шума на выходе фильтра (средний квадрат отсчета шума y_n(t₀)) определяются

. (4.4)

Запишем отношение мгновенной мощности сигнала y_s²(t₀) к средней мощности шума P_{n вых} в отсчетный момент

. (4.5)

Будем искать передаточную функцию H(jw), при которой имеет место максимальное значение числителя в соотношении (4.5). Воспользуемся тем, что интеграл в числителе – скалярное произведение двух функций S*(jw) и (S*(jw) – функция, комплексно спряженная с функцией S(jw)). Скалярное произведение функций максимальное, если функции совпадают с точностью до произвольного положительного коэффициента c, т.е. = с×S*(jw). Значит, максимум числителя (4.5) имеет место при передаточной функции

. (4.6)

После подстановки выражения (4.6) в соотношение (4.5) получим

. (4.7)

Здесь использовано, что энергия сигнала s(t) определяется

. (4.8)

Видим, что при выполнении соотношения (4.6) обеспечивается не только максимум числителя отношения сигнал/шум (4.5), но и максимум этого отношения (значение r не зависит от конкретного вида передаточной функции H(jw), входящей в знаменатель). Таким образом, задача определения передаточной функции СФ H(jw) решена.

2. Соотношение (4.7) определяет максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в отсчетный момент. Это отношение принято называть пиковым

. (4.9)

Определим выигрыш в отношении сигнал/шум, показывающий во сколько раз увеличивается отношение сигнал/шум при фильтрации СФ,

, (4.10)

где F_ш – шумовая полоса помехи на входе фильтра;

T_s – длительность сигнала s(t);

P_s и P_n – средние мощности сигнала и помехи на входе фильтра.

Из выражения (4.10) видно, что при определенных соотношениях между шумовой полосой помехи и длительностью сигнала выигрыш может принимать большие значения.

3. Найдем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики СФ. Передаточная функция любой линейной электрической цепи определяет ее АЧХ и ФЧХ:

H(jw) = H(w) eхр(jj(w)), (4.11)

где H(w) – АЧХ цепи, j(w) – ФЧХ цепи.

Представим спектральную плотность сигнала s(t) через модуль и аргумент

S(jw) = S(w) exp(jy(w)), (4.12)

где S(w) – амплитудный спектр сигнала, y(w) – фазовый спектр сигнала.

После подстановки (4.11) и (4.12) в (4.6) получим, что АЧХ УФ

H(w) = сS(w) (4.13)

с точностью до произвольного коэффициента совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым фильтр согласован. Коэффициент передачи CФ больше на тех частотах, на которых больше составляющие сигнала s(t).

Равенство аргументов левой и правой частей (4.6) дает

j(w) = –y(w) – wt₀, (4.14)

что трактуется так: ФЧХ СФ с точностью до линейного слагаемого противоположна по знаку фазовому спектру сигнала, с которым фильтр согласован.

Для выяснения физической сущности ФЧХ СФ рассмотрим некоторую составляющую сигнала частоты f_i: A_icos(2pf_i t+ y_i). Эта составляющая на выходе CФ определяется:

A_i(f_i)cos(2pf_it+ y_i + j(f_i)) = A_i(f_i)cos(2pf_it + y_i – y_i – 2pf_it₀).

Полная фаза колебания равняется 2pf_i(t – t₀). В момент t = t₀ полная фаза колебания равна нулю независимо от частоты. В этот момент все составляющие находятся в фазе и при сложении дают максимально возможное значение отклика.

4. Найдем импульсную реакцию СФ как обратное преобразование Фурье от передаточной функции

(4.15)

Видим, что импульсная реакция СФ является зеркальным отображением сигнала, с которым фильтр согласован, относительно точки t₀ в масштабе с.

Пример 4.1. Построим график импульсной реакции фильтра, согласованного с сигналом

Условием физической реализуемости линейной электрической цепи является требование к ее импульсной реакции: g(t) º 0 для значений t < 0. Из рис. 4.2 видно, что для выполнения этого условия необходимо наложить требование на момент отсчета: t₀ ³ T_s, где T_s – длительность сигнала s(t).

а

5. Пусть на входе СФ действует произвольный сигнал z(t). Отклик фильтра определяется интегралом Дюамеля

, (4.16)

где K_zs(t) – функция взаимной корреляции сигналов z(t) и s(t).

Из выражения (4.16) вытекает, что форма сигнала на выходе СФ определяется функцией взаимной корреляции входного сигнала и сигнала, с которым фильтр согласован, а именно, она повторяет функцию взаимной корреляции в масштабе с и смещена вправо на t₀.

Если в соотношении (4.16) положить с = 1 и t₀ = T_s, то легко убедиться, что y(T_s) дает значение скалярного произведения сигналов z(t) и s(t). Это свойство СФ использовалась выше для определения коэффициентов разложения – соотношение (3.4).

6. Пусть на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован. Тогда на основании (4.16) запишем

, (4.17)

где K_s(t) – функция корреляции сигнала s(t).

Таким образом, если на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован, то отклик фильтра определяется функцией корреляции сигнала, а именно, она повторяет функцию корреляции сигнала в масштабе с и смещена вправо на t₀.

Упражнение 4.1. Проиллюстрируем рассмотренные свойства СФ на примере фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом амплитуды А и длительности T_s. Пусть с = 1/A и t₀ = T_s. Импульсная реакция фильтра, согласованного с П-импульсом, имеет П-образную форму, амплитуду 1 и длительность T_s, т.е. импульсная реакция совпадает с сигналом (рис. 4.3, а).

Спектральная плотность П-импульса определяется преобразованием Фурье

S_п(jw) = . (4.18)

На основе соотношения (4.6) получим выражение для передаточной функции фильтра, согласованного с П-импульсом, если с = 1/A и t₀ = T_s

H(jw) = . (4.19)

Из этого соотношения вытекает, что схема фильтра, согласованного с П‑импульсом, состоит из интегратора (с передаточной функцией 1/jw), устройства задержки на время T_s (с передаточной функцией exp(–jwT_s)) и вычитателя (рис. 4.3, в). На этом рисунке цифрами обозначены отдельные точки схемы для обсуждения ее работы.

Легко получить выражение для АЧХ фильтра, согласованного с П‑импульсом. Окончательное выражение для АЧХ после перехода к сменной f имеет вид функции sin(x)/x

. (4.20)

АЧХ СФ и амплитудный спектр сигнала показаны на рис 4.3, б.

На рис. 4.4, а показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход d-функции. На выходе схемы наблюдается импульсная реакция. На рис. 4.4, б показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход импульса, с которым фильтр согласован. На выходе схемы наблюдается отклик, совпадающий с корреляционной функцией П-импульса длительностью Т_s (см. модуль 1).

Контрольные вопросы

1. Что является критерием оптимальности согласованного фильтра?

2. Пересчитайте свойства согласованного фильтра.

3. Как определяется пиковое отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?

5. Применение согласованных фильтров
в демодуляторах сигналов аим-м

Рассмотрим совместно схемы модулятора и демодулятора сигналов АИМ-М (рис. 5.1). Схема модулятора строится на основе описания канальных символов сигналов АИМ-М

, (5.1)

где А(t) – импульс с определенными частотными и временными характеристиками;

a_i – коэффициент, отображающий переданные биты.

На схеме КМК – кодер модуляционного кода, который вырабатывает коэффициенты a_i на основе входного цифрового сигнала – на каждом тактовом интервале блоку из n = log₂M бит ставится в соответствие коэффициент a_i. Этот коэффициент подается на вход формирующего фильтра (ФФ) сигналом a_id(t). ФФ формирует импульс a_iА(t).

Схема демодулятора построена на основе материала предыдущих разделов. На вход согласованного фильтра поступает сумма сигнала и помехи a_iА(t) + n(t). Согласованный фильтр ослабляет помеху, и на его выходе имеет место полезный сигнал a_iР(t) и помеха z(t). Дискретизатор берет отсчет и выдает оценку коэффициента a_i. Максимальное значение импульса P(t) в момент отсчета равняется 1, поэтому = a_i + z (оценку можно рассматривать как коэффициент z₀ представления сигнала z(t) в одномерном пространстве относительно базисной функции А(t)). Дискретизатор управляется последовательностью импульсов от схемы тактовой синхронизации (ТС), что обеспечивает взятие отсчетов в моменты максимального отношения сигнал/шум. На основе полученной от дискретизатора оценки схема решения (СР) выносит решение о номере переданного канального символа и выдает решение двоичными символами согласно модуляционному коду.

Поскольку формирующий фильтр возбуждается d-функцией, то амплитудный спектр импульса A(t) равняется АЧХ ФФ

S_A(f) = H_ФФ(f). (5.2)

Амплитудный спектр импульса Р(t) определяется

S_P(f) = S_A(f)×H_СФ(f), (5.3)

где H_СФ(f) – АЧХ фильтра, согласованного с импульсом A(t).

Импульс на выходе СФ Р(t) должен удовлетворять условию отсутствия межсимвольной интерференции (МСИ), поэтому потребуем, чтобы спектр S_P(f) был спектром Найквиста N(f):

S_P(f) = N(f). (5.4)

Воспользуемся свойством СФ: его АЧХ совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым он согласован (при с = 1)

H_УФ(f) = S_A(f). (5.5)

Учитывая равенства (5.2)...(5.5) приходим к выводу, что

H_ФФ(f) = H_СФ(f) = . (5.6)

Говорят, что АЧХ ФФ и СФ описываются зависимостью «корень квадратный из спектра Найквиста».

Обычно спектр Найквиста описывают зависимостью «поднятый косинус»

N(f) = (5.7)

где Т – тактовый интервал;

f_н = 1/(2Т) – частота Найквиста;

a – коэффициент ската спектра.

Зависимость «корень квадратный из спектра Найквиста» описывается

= (5.8)

На рис. 5.2 показаны зависимости N(f) и при a = 0,4. Из рис. 5.2, б видно, что формирующий и согласованный фильтры являются фильтрами нижних частот, но со специальной АЧХ. Если в качестве ФФ и СФ использовать фильтры Баттерворта, Чебышева и др., синтезированные с целью приближения их АЧХ к П-образной, то не будет выполняться условие отсутствия МСИ.

Выражение для импульса A(t) можно получить как обратное преобразование Фурье от зависимости , считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

(5.9)

Функцию P(t) можно получить как обратное преобразование Фурье от N(f), считая, что фазовый спектр тождественно равен нулю:

P(t) = . (5.10)

На рис. 5.3 показаны графики импульсов A(t) и P(t) при a = 0,4. Из графика P(t) видно, что его амплитудное значение равно 1. А это значит, что при передаче импульса a_iА(t) отсчет на выходе дискретизатора равен a_i. Из рис. 5.3 видно, что импульс P(t) принимает нулевые значения при t = ±kТ (k = 1, 2, 3,…), т.е. удовлетворяет условию отсчетности. Импульс A(t) не принимает нулевые значения при t = ±kТ (k = 1, 2, 3, …).

Определим энергию импульса A(t), что необходимо в дальнейшем анализе,

. (5.11)

Результат получен, исходя из того, что интеграл равняется площади под кривой, описываемой подынтегральной функцией (рис. 5.2, а). Поскольку функция N(f) имеет кососимметричный скат, то эта площадь равняется площади прямоугольника высотой Т и основанием f_н = 1/(2Т). Полученное значение позволяет легко определять энергию сигнала :

. (5.12)

Для дальнейшего анализа необходимо также значение средней мощности шума на выходе СФ, АЧХ которого описывается зависимостью , при условии, что спектральная плотность мощности шума на входе СФ N₀/2

. (5.13)

При интегрировании использован тот же подход, что и при вычислении интеграла (5.11). Значение СКО шума на выходе СФ равняется

. (5.14)

Учитывая (5.12) и (5.14), легко убедиться, что отношение сигнал/шум в момент отсчета

(5.15)

соответствует свойству согласованного фильтра (4.9).

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте назначение формирующего и согласованного фильтров.

2. Сформулируйте назначение тактовой синхронизации.

3. Как определяется СКО шума на выходе СФ?

Коррелятор

При анализе свойств согласованных фильтров была установлена связь между выходным сигналом y(t) и входным сигналом z(t) – соотношение (4.16). Положим с = 1, t₀ = T_s и при этих условиях из соотношения (4.16) определим y(T_s). При этом учтем, что сигнал s(t) существует на интервале (0, T_s):

. (6.1)

Из последнего соотношения вытекает, что можно выполнить оптимальную обработку сигнала с помехой z(t) = s(t) + n(t) схемой, работа которой описывается этим соотношением. Устройство, работа которого описывается соотношением (6.1), называется коррелятором, он рассматривался в разделе 3.

На рис. 3.2 приведена схема коррелятора. Она содержит генератор сигнала s(t) – точной копии обрабатываемого сигнала, перемножителя и интегратора со сбросом – в момент окончания сигнала s(t) дискретизатором берется отсчет, а интегратор приводится в нулевое состояние, чтобы быть готовым к обработке следующего сигнала.

Из описания схемы понятно, что остались не показанными цепи синхронизации генератора сигнала s(t), цепи управления дискретизатором и сбросом интегратора.

Эквивалентность обработки сигнала с помехой согласованным фильтром и коррелятором заключается в том, что в обоих случаях

. (6.2)

Однако процессы, которые имеют место в схемах согласованного фильтра и коррелятора, разные. Проиллюстрируем это на примере обработки радиоимпульса s(t) (рис. 6.1, а). На выходе согласованного фильтра наблюдается отклик в виде корреляционной функции сигнала s(t) (рис. 6.1, б). На выходе фильтра берется отсчет y_s(Т_s). На рис. 6.1, в показан сигнал на выходе интегратора со сбросом коррелятора y_s(t) и отсчетное значение на выходе коррелятора y_s(Т_s). Несмотря на то, что процессы разные, на выходах обеих схем отношения сигнал/шум одинаковые

, (6.3)

где s – СКО отсчета y(t).

Соотношения (6.2) и (6.3) верные для коррелятора, если время обработки сигнала коррелятором равно длительности сигнала. Иная ситуация имеет место при обработке импульсов с существенно ограниченным спектром, например, импульсов Найквиста. В этом случае длительность импульса может принимать значение T_s = (8...20)Т, где Т – длительность тактового интервала. При демодуляции сигналов цифровой модуляции время обработки коррелятором не может быть больше Т.

На рис. 6.2 показан импульс A(t). Заштрихованная площадь под кривой A(t) на интервале (–Т/2, Т/2) показывает результат интегрирования коррелятором – при обработке импульса не используются значения импульса на интервалах (–¥, –Т/2) и (Т/2, ¥). Поэтому отношение сигнал/шум на выходе коррелятора меньше, чем при обработке согласованным фильтром. Время обработки согласованным фильтром равняется длительности его импульсной реакции, а она равна длительности сигнала T_s, и все значения сигнала используются при обработке. По этой причине коррелятор применялся в демодуляторах сигналов цифровой модуляции, которые использовали слабо фильтрованные П‑импульсы, когда длительность сигнала практически равнялась длительности тактового интервала. При использовании импульсов с существенно ограниченным спектром применяются согласованные фильтры.

Контрольные вопросы

1. Изобразите схему коррелятора и объясните его работу.

2. В чем заключаются эквивалентность и отличие обработки сигнала с помехой согласованным фильтром и коррелятором?