Математические основы векторной графики

Если основным элементом растровой графики является пиксель (точка), то в случае векторной графики в роли базового элемента выступает линия. Это связано с тем, что в векторной графике любой объект состоит из набора линий, соединенных между собой узлами. Как уже отмечалось, отдельная линия, соединяющая соседние узлы, называется сегментом (в геометрии ей соответствует отрезок).

Сегмент может быть задан с помощью уравнения прямой или уравнения кривой линии, требующих для своего описания разного количества параметров. Для более полного понимания механизма формирования векторных объектов рассмотрим способы представления основных элементов векторной графики: точки, прямой линии, отрезка прямой, кривой второго порядка, кривой третьего порядка, кривых Безъе.

В векторной графике точке соответствует узел. На плоскости этот объект представляется двумя числами (X, Y), задающими его положение относительно начала координат.

Для описания прямой линии используется уравнение y = аx + b. Поэтому для построения данного объекта требуется задание всего двух параметров: а и b. Результатом будет построение бесконечной прямой в декартовых координатах.

В отличие от прямой, отрезок прямой требует для своего описания двух дополнительных параметров, соответствующих началу и концу отрезка.

К классу кривых второго порядка относятся параболы, гиперболы, эллипсы и окружности, то есть все линии, уравнения которых содержат переменные в степени не выше второй. В векторной графике эти кривые используется для построения базовых форм (примитивов) в виде эллипсов и окружностей. Кривые второго порядка не имеют точек перегиба. Используемое для описания этих кривых каноническое уравнение требует для своего задания пяти параметров:

х2 + aiy2 + а2ху + а3х + а4у + а5 = 0.

Для построения отрезка кривой требуется задать два дополнительных параметра.

В отличие от кривых второго порядка кривые третьего порядка могут иметь точку перегиба. Например, график функции Y = Х3 имеет точку перегиба в начале координат (0, 0). Именно эта особенность данного класса функций позволяет использовать их в качестве основных кривых для моделирования различных природных объектов в векторной графике. Следует отметить, что упомянутые ранее прямые и кривые второго порядка являются частным случаем кривых третьего порядка.

Каноническое уравнение, используемое для описания уравнения третьего порядка, требует для своего задания девяти параметров:

х3 + aiy3 + а2х2у + а3ху2 + а4х2 + а5у2 + а6ху + а7х + а8у + а9 = 0.

Для описания отрезка кривой третьего порядка требуется на два параметра больше.

Кривые Безье – это частный вид кривых третьего порядка, требующий для своего описания меньшего количества параметров – восьми вместо одиннадцати. В основе построения кривых Безье лежит использование двух касательных, проведенных к крайним точкам отрезка линии. На кривизну (форму) линии влияет угол наклона и длина отрезка касательной, значениями которых можно управлять в интерактивном режиме путем перетаскивания их концевых точек. Таким образом, касательные выполняют функции виртуальных рычагов, позволяющих управлять формой кривой. Более подробно об этом будет сказано далее в разделе "Кривые Безье".