Интерполяция, экстраполяция, прогнозирование.

При разработке моделей часто возникает задача поиска аналитических зависимостей, близких к функциям, описывающих реальные закономерности. Простейшая задача заключается в следующем. На интервале наблюдения T в некоторые фиксированные моменты времени t₁, t₂,..., наблюдаются значения функции f(t₁), f(t₂),... Требуется восстановить ее значение в другие моменты времени. Пусть, из каких либо соображений известен вид функции f(t,a₁,a₂,..,a_m), где a₁,a₂,..,a_m — неизвестные коэффициенты. Если коэффициенты определяются из условия совпадения f(t) в точках t₁, t₂,... с данными наблюдений, то имеет место способ приближения, называемый «интерполяцией». Ясно, что для вычисления параметров функции необходимо определенное число наблюдений (измерений) в зависимости от вида искомой функции. Так, для определения коэффициентов полинома n-ой степени, необходимо (в детерминированном случае) не менее n+1 наблюдений. Если вид функций заранее не известен, приходиться прибегать к оценке выдвигаемых гипотез о виде функции. Поскольку обычно значения функций в точках наблюдения определяются с ошибками, возникает задача наилучшего в каком либо смысле приближения к реальной зависимости при минимальном (или заданном) числе измерений и конкретном виде (спектре) ошибок наблюдения. Проблема минимизации ошибок вычисления параметров искомой функции рассматривается в теории вероятностей. При этом необходимо учитывать наличие ошибок двух видов: систематических — следствие несовпадения выбранной аналитической функции реальной зависимости и случайных — результат ошибок единичных замеров, которые на интервале наблюдения могут иметь различный спектральный состав.

С целью снижения случайных составляющих увеличивается интервал наблюдения и количество измерений, но это далеко не всегда дает желаемый результат. Может оказаться, что на интервале наблюдения процесс не стационарен, т.е. аппроксимируемая функция на интервале наблюдения меняет свой вид, при этом появляется еще один источник систематических ошибок. Качество сглаживания случайных составляющих не однозначно связано с количеством измерений на интервале наблюдения, поскольку зависит от спектрального состава ошибок измерения. Для учета различных обстоятельств разработаны специальные алгоритмы.

Продолжение полученной в результате приближения функции за пределы интервала наблюдения называется «экстраполяцией». Известно, что «Всякое научное представление есть экстраполяция (с наблюдаемых ситуаций на ненаблюдаемые с измеренных величин на неизмеренные и т.д.). Систематическое использование методов экстраполяции может служить признаком зрелости той или иной области знаний, как науки». Задача экстраполяции значительно, порой принципиально, усложняется, если на интервале экстраполяции условия существования системы меняются. Прогнозирование можно рассматривать как расширение понятия экстраполяции на общий случай существования системы в будущем, в том числе, когда условия существования системы — характер экзогенных переменных на интервале экстраполяции изменяется, что может привести к изменению целей и структуры системы. В таком случае классические методы экстраполяции — продолжение подобранной на интервале наблюдения аналитической зависимости на время экстраполяции — приводят к неверным результатам и выводам.

Задача подбора функций и отношений между экзогенными и эндогенными переменными в общем случае статистическая. Для прогноза поведения системы на заданном интервале необходима гипотеза относительно релевантных факторов, воздействующих на систему на этом интервале. Если релевантные факторы на интервалах наблюдения и прогноза неизменны, то могут быть найдены устойчивые (неизменные для этих интервалов) зависимости — «тренды». Будет иметь место так называемое прогнозирование «от прошлого к будущему». В настоящее время темпы изменения производительных сил настолько высоки, что гипотеза о неизменности релевантных факторов, определяющих поведение системы, оказывается чаще неверной, как для интервала наблюдения, так и интервала прогноза. Вместе с тем взаимосвязь систем в мире стала столь тесной, что состояние и развитие конкретной системы невозможно рассматривать вне этих связей. Вероятностные связи усложнились, вид и число неопределенностей возросли. В этих условиях потребовалось перейти к так называемому прогнозированию «от настоящего к будущему». При этом в результате наблюдения системы отправными для прогноза полагаются значения параметров системы в конце интервала наблюдения — текущие значения. Для прогноза изменения параметров в будущем выдвигаются гипотезы относительно окружающей среды, релевантных факторов, влияющих на поведение системы, экзогенных переменных, реализующих это влияние. Прогноз имеет вариантный характер и только в лучшем случае удается выявить все возможные варианты развития системы и дать им вероятностные оценки.

В заключение раздела приведем несколько определений.

«Предсказание» — описание возможных или желательных перспектив, состояний, проблем будущего. Это логически обоснованное суждение о состоянии какой либо системы в будущем. Различают следующие формы предсказания: предчувствие, предвосхищение, предугадывание, прогнозирование.

«Прогнозирование» — специальное исследование, предметом которого является перспектива развития системы. Методы прогнозирования разделяются на статистические, причинно-следственные и комбинированные.

«Прогноз» — научно- обоснованное (в общем случае вероятностное или содержащее неопределенности) суждение о возможном состоянии системы в будущем. Прогноз может быть краткосрочным и долгосрочным. Понятие срочности конкретизируется для каждой системы и связано с достижимым уровнем достоверности прогноза.