Хвильове рівняння. Поздовжні і поперечні хвилі

Припустимо, що хвильовий процес розповсюджується у додатному напрямку осі 0Х, а джерело коливань знаходить­ся в площині, перпендикулярній до напрямку розповсюд­ження, і коливається за законом (мал. 1.29).

Мал. 1.29. Хвильовий процес.

Нехай - швидкість розповсюдження хвильового про­цесу у середовищі. Через проміжок часу хвильовий процес досягне точки В, яка знаходиться на відстані х від джерела коливань, і викличе коливання цієї точки через час за законом:

(1.57)

Рівняння (1.57) - це рівняння плоскої хвилі. Величину називають фазою хвилі. Геометричне місце то­чок, які коливаються в однаковій фазі, утворює хвильову або фазову поверхню. Поверхня, до якої дійшла хвиля у деякий момент часу, називається фронтом хвилі. У даному випадку фронт хвилі являє собою площину тому хвиля зветься плоскою. Форма хвильової поверхні визна­чається конфігурацією джерела коливань і властивостями середовища. В ізотропному середовищі від точкового дже­рела розповсюджується сферична хвиля, в якої хвильова поверхня є сфера.

Під швидкістю розповсюдження хвилі розуміють швидкість розповсюдження фіксованої фази коливання. Дійсно, якщо то після диференціювання цієї рівності отримаємо:

звідки

Як відомо, довжина хвилі дорівнює відстані, яку проходить хвиля за час, що дорівнює періоду коливань:

Враховуючи зв'язок між рівняння (1.57) можна

подати у вигляді:

З рівняння плоскої хвилі випливає, що зміщення тобто хвиля має подвійну періодичність (як у просторі, так і у часі). Рівняння (1.57) є розв'язком диференційного рівняння другого порядку у частинних похідних:

(1.58)

Рівняння ( .58) являє собою одновимірне хвильове рівняння плоскої хвилі. Якщо яка-небудь фізична величина описується таким хвильовим рівнянням, то це означає, що вона розповсюджується в просторі у вигляді плоскої хвилі зі швидкістю .