Гармонічні коливання та їх основні параметри

Розглянемо пружинний маятник (мал. 1.21). При змі­щенні матеріальної точки масою т на відстань х відносно положення рівноваги на неї починає діяти сила пружності, яка викликана деформацією пружини

F_np = -kx. (1.35)

Мал. 1.21. Пружинний маятник.

Згідно з II законом Ньютона ця сила надаватиме мате­ріальній точці прискорення :

F_np = ma. (1.36)

Прирівнюючи праві частини рівностей (1.35) і (1.36), одер­жимо:

ma = -kx. (1.37)

Враховуючи, що прискорення є другою похідною від координати за часом a = х, останнє рівняння набуває вигля­ду лінійного диференційного рівняння

m +kx=0. (1.38)

Оскільки коефіцієнт жорсткості пружини k > 0 і т > 0, відношення k/m можна позначити через квадрат деякої ве­личини ω₀: ω₀²=k/m. Тоді рівняння (1.38) матиме вигляд:

. (1.39)

Таким чином, функція х =f(t) задовольняє диференційному рівнянню ІІ-го порядку, яке є лінійним, однорідним і зі сталими коефіцієнтами. Розв'язок таких рівнянь, як відомо, зводиться до розв'язування відповідних характеристичних алгебраїчних рівнянь.

Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди-ференційному рівнянню (1.39):

λ²+ω₀²=0. (1.40)

Корені цього квадратного рівняння дорівнюють λ_1,2 = ±ω₀ , тобто вони є різними й уявними.

Загальний розв'язок диференційного рівняння (1.39) на випадок таких коренів відповідного характеристичного рів­няння має вигляд:

x(t) = с₁ sinω₀t + с2 cosω₀t.

Нехай с₁ = Acosφ₀, а с₂ = - А sinφ₀, де А та φ₀ - довільні сталі, тоді

x(t) = Acosφ₍₎ cosω₀t- Asinφ sinωt= Acos(ω₀t + φ₀). (1.41)

Якщо покласти с₁ = A sinφ₀, а с₂ = А cosφ₀, то прийдемо до результату:

x(t) = Asin(ω_0t + φ₀). (1.42)

Значення сталих А та φ₀ визначаються початковими умовами, тобто положенням та швидкістю матеріальної точки в момент часу t = 0.

Отже, ми дійшли до висновку: матеріальна точка, що знаходиться під дією пружної сили, здійснює коливаль­ний рух, при якому її зміщення від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Такі коливання називають гармонічними.

Стала А в рівняннях (1.42) є амплітуда гармонічного коливання, вона дорівнює максимальному зміщенню маят­ника від положення рівноваги. Аргумент синуса (або коси­нуса): φ(t) = ω₀t + φ₀ - фаза коливань. Фаза визначає змі­щення маятника в будь-який момент часу, φ₀- початкова фаза, яка визначає зміщення маятника в момент часу t = 0.

Величина ω₀= - циклічна частота коливань.

Тій же самій закономірності підпорядковується зміщен­ня від положення рівноваги математичного маятника, що коливається, при невеликих кутах відхилення а (мал. 1.22).

Мал. 1.22. Математичний маятник.

Сила, яка спричиняє коливання математичного маятни­ка, не є пружна за своєю природою. Дійсно, повертаюча сила F спрямована по дотичній до дуги кола радіуса l, напрямлена до положення рівноваги і пропорційна зміщен­ню х:

(оскільки для малих кутів α маємо ).

Сила, що не є пружною за своєю природою, але анало­гічна їй по залежності від зміщення, називається квазіпружною. Таким чином, F є квазіпружною силою. Рівняння динаміки для математичного маятника матиме вигляд:

, або (1.43)

Отримане рівняння повністю збігається з рівнянням (1.41), що описує рух пружного маятника, а отже має той самий розв'язок. Таким чином, гармонічні коливання - це коливання, що відбуваються під дією пружних або квазіпружних сил.

Швидкість та прискорення при гармонічних коливаннях

Нехай відлік часу обрано таким чином, щоб початкова фаза φ₀= 0. Тоді розв'язок рівняння (1.41) матиме вигляд:

x(t) = Asinω₀ t. (1.44)

Швидкість тіла, що коливається, знайдемо як похідну від координати х за часом t

, (1.45)

де υ_m = aω₀ - амплітуда швидкості.

З рівнянь (1.43) та (1.44) випливає, що швидкість також змінюється за гармонічним законом, а фаза швидкості від­різняється від фази зміщення на π/2, тобто в момент часу, коли х = 0, швидкість максимальна.

Оскільки швидкість при гармонічних коливаннях змі­нюється з часом, то цей рух характеризується прискорен­ням, яке знайдемо як другу похідну від зміщення х за часом

(1.46)

де а_т = Аω₀² - амплітуда прискорення.

Видно, що і прискорення змінюється за гармонічним законом, а фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на π, а від фази швидкості на π/2. Замінивши в (1.46) Asinω₀t через х, отримаємо:

a=-ω₀²x.

З цієї рівності виходить, що при гармонічних коливаннях прискорення тіла прямо пропорційне до зміщення від поло­ження рівноваги і має протилежний зміщенню напрямок.

Період і частота гармонічних коливань

Періодом гармонічного коливального руху називають найменший проміжок часу Т, по закінченні якого всі вели­чини, що характеризують цей рух (х, υ, а), набувають пер­вісні значення. З рівностей (1.44) - (1.46) випливає, що періоду коливань відповідає зміна фази на величину 2π.

У момент часу t фаза дорівнює ω₀t+φ₀, а в момент часу t + Т: (ω₀ (t + T) +φ₀ ). Тоді з умови періодичності (ω₀ (t + T) +φ₀)- -( ω₀t+φ₀ )= 2π маємо:

. (1.47)

Підставляючи в (1.47) вирази для ω_0, що відповідають пружинному та математичному маятникам, отримаємо від­повідні вирази для періодів коливань цих маятників:

(1.48)

Величину v=1/Т = ω₀/2π називають частотою коливань. Частота вказує, скільки разів за 1 сек повторюється один і той же стан тіла, що коливається. Частота вимірюється в Герцах (Гц), [v] = 1/с = с^-1 = Гц.

Розглянуті коливання відбуваються при відсутності сил тертя і зовнішніх сил. Такі коливання називають власними. Частота (період) власних коливань, як випливає з (1.48), залежить лише від властивостей самої системи.

1.3.2. Затухаючі коливання і аперіодичний рух

Вимушені коливання

Припустимо, що на матеріальну точку масою m, крім пружної або квазіпружної сили і сили тертя, діє зовнішня вимушуюча сила, що змінюється за періодичним законом

F₃ = F₀sin Ωt,

де F₀ - амплітуда, а Ω - циклічна частота вимушуючої сили. В цьому випадку рівняння руху матиме вигляд

ma = - kx - r + F₀sinΩlt, або

. (1.53)

Загальний розв'язок диференційного рівняння (1.53) має вигляд

х = Asin(Ωt + φ₀), (1.54)

де А - амплітуда вимушених коливань, яка дорівнює

, (1.55)

а початкову фазу φ₀ визначають з рівності:

. (1.56)

Важливу формулу (1.55) для амплітуди А вимушених коливань можна отримати, скориставшись графічним мето­дом розв'язку неоднорідних диференційних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. З формули (1.54) для зміщення х легко отримати вирази для похідних

Якщо намалювати "векторну" або "фазову" діаграму (мал. 1.25а), відклавши на ній амплітудні значення всіх доданків у рівнянні (1.53) з урахуванням зсуву їх фаз, то очевидно, що векторна сума трьох доданків у лівій частині (1.53) повинна дорівнювати амплітудному значенню виму­шуючої сили, тобто . Звідси безпосередньо випливає формула (1.55) для амплітуди А, так само як і формула (1.56) для tgφ.

Мал. 1.25а. Векторна діаграма для визначення амплітуди А і початкової фази φ₀.

Таким чином, якщо на тіло, яке коливається, діє зовнішня періодична сила з частотою Ω, то тіло здійснює коливання з тією ж частотою, причому амплітуда коливань залежить від амплітуди і частоти зовнішньої сили, від коефіцієнта затухання, від пружних властивостей системи і маси тіла, яке коливається. Такі коливання називають вимушеними.