Бинарные алгебраические операции.

Взаимосвязь между матанализом и алгеброй.

В матанализе изучаются, в частности, функции одного и двух аргументов.

Пример 1. , т.е.

Пример 2. , здесь

Если множество, на котором задано отображение - не числовая прямая, а какое-то дискретное множество, то применяются алгебраические понятия - унарные и бинарные алгебраические операции (по числу аргументов). Существуют и n-арные операции, например, общий перпендикуляр к трём векторам в 4-мерном пространстве (тогда n=3).

Простейшие примеры. Отображение множества из 3 первых натуральных чисел в само себя. Если в верхней строке записать числа по порядку, а в нижней строке - образ каждого из них, то получится, к примеру, такая запись:

Подстановка.

Впрочем, верхняя строка информации не несёт, можно писать только 2-ю строку, это называется перестановкой. Пример: (3 1 2).

Перестановок 2 порядка всего две: (1 2) и (2 1).

Перестановки 3 порядка:

(1 2 3), (1 3 2) (2 1 3), (2 3 1) (3 1 2), (3 2 1).

Их всего 6. Чтобы перечислить их все, можно на 1 месте поставить число, а на двух других остаётся по 2 варианта расположить оставшиеся 2 числа.

Лемма.Существует n! перестановок порядка n.

Доказательство.

Для n = 2 это очевидно, перестановки только (12) и (21).

Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается что как раз равно n!, что и требовалось доказать.

В частности, при n = 3 получается 6 перестановок:

(123) (132) (213) (231) (312) (321)

На первом месте одно из 3 чисел, и при этом оставшиеся 2 числа можно расставить на 2 места двумя способами. Получается 6 способов. Заметим, что 3! = 6.

Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. В перестановке (12) инверсий нет, количество инверсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно).

Группоид

Определение 1. На множестве задана бинарная алгебраическая операция, если каждой паре элементов поставлен в соответствие однозначно определённый элемент .

Примечание. Результат операции также принадлежит М, другими словами, множество замкнуто относительно этой операции.

Это означает, что задано отображение (задана функция) , . В матанализе используется функциональные обозначения , а в алгебре - знаки алгебраической операции, например .

Граница между матанализом и алгеброй очень тонкая. И та, и другая область математики изучает отображения. В матанализе они называются функциями, здесь - алгебраическими операциями.

Операция, например, может быть сложением или умножением, но не обязательно, на самом деле существует более обширный класс операций, а сложение и умножение - лишь частные случаи.

Определение 2.Если на задана бинарная алгебраическая операция, то называется группоидом, и обозначается .

Примеры.

1. Множество целых чисел с операцией сложения. является группоидом, так как результат операции - это снова целое число, то есть операция не выводит за пределы этого множества.

2. Множество целых чисел с операцией умножения. . Аналогично прошлому примеру, является группоидом.

3. , где является группоидом. Положительная степень натурального числа есть снова натуральное число.

4 . Множество натуральных чисел с операцией вычитания. . .

Не является группоидом, так как эта операция может привести к тому, что результат не принадлежит данному множеству, например, если .

Свойства операций.

1. Коммутативность.Если для любых верно , то операция называется коммутативной, и соответственно, группоид - коммутативным.

Примеры.

1. 2. 3. 4. коммутативные группоиды.

5. , где . Не коммутативный группоид. Как минимум, , есть и много других примеров.

2. Ассоциативность.Если верно , то операция называется ассоциативной, и соответственно, группоид - ассоциативным (в таком случае его называют полугруппой).

Примеры.

1. 2. 3. 4. ассоциативные группоиды.

5. , где . Не ассоциативный группоид.

, так как в общем случае .

Нейтральный элемент.

Пусть дан группоид . Если существует такой элемент , что выполняется , то называется нейтральным элементом этого группоида.

Пример 1. операция сложения, тогда .

Пример 2. операция умножения, тогда .

Нейтральный элемент существует не всегда.

Пример 3. Векторное умножение в пространстве. Если каждой паре векторов ставится в соответствие их общий перпендикуляр, то результат действия операции перпендикулярен каждому из векторов, и невозможна ситуация .

Пример 4. , операция . Тогда . .

Лемма.Если существует нейтральный элемент, то он единственный.

Доказательство. Допустим, что существует 2 нейтральных элемента, и . Если мы умножим их между собой, то должно быть во-первых , так как нейтральный, но во-вторых, тогда , так как тоже нейтральный. Получается

, , то есть .

Симметричный (обратный) элемент

Определение. Пусть группоид содержит нейтральный элемент . Элемент . Элемент называется симметричным относительно , если .

Примеры.

1. При сложении, в , нейтральный , симметричный это противоположный элемент .

2. При умножении, в , нейтральный , симметричный это обратный элемент: для существует .

3. , операция . . Обратный равен , так как .

Лемма. Пусть полугруппа (т.е. операция ассоциативна). Тогда, если для элемента существует симметричный, то он единственный.

Доказательство. Пусть для существует 2 разных симметричных элемента, и . Тогда

, . Рассмотрим равенство , из него следует, что , но тогда .

Пример. Подстановки, нейтральный

обратный элемент:

Группы

Определение. Множество с заданной на нём бинарной операцией называется группой, если:

1) выполняется ассоциативность, т.е.

2) существует нейтральный элемент , то есть

3) существует симметричный (обратный) , т.е. .

Примеры.

, , - «аддитивные» группы (по сложению).

, - «мультипликативные» группы (по умножению).

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой.