Определение подгруппы.

Непустое подмножество группы называется подгруппой, если само является группой относительно операции, введённой в группе .

Примеры.

Крайние случаи:

1) сама группа есть подгруппа, .

2) множество, состоящее только из нейтрального элемента, .

Пример. , все чётные числа. 0 нейтральный как в самой , так и в подгруппе.

Впрочем, подгруппой является любое подмножество вида .

Пример. Подмножество подгруппой не является, т.к. результат сложения может быть и больше 3, т.е. выводит за пределы этого множества.

Примеры.

Пример. Конечная группа, дана таблица умножения элементов:

Похоже на то, что было при изучении подстановок, только не унарная, а бинарная операция. Есть , это 1. Для каждого есть обратный. Для 2 это 3, для 3 это 2. В каждой строке (и каждом столбце) перестановка из трёх различных чисел.

--- перерыв ---

Теорема 1 (критерий подгруппы).

Непустое подмножество группы является подгруппой

выполняется: .

Доказательство.

1. Необходимость- очевидно, по определению, если сама является группой, то , .

2. Достаточность.Если , то .

Тогда для всякого , обратный также принадлежит, ведь . □

Примечание.Этот критерий - фактически эквивалентное свойство, которое могло бы быть принято в качестве определения подгруппы.

Теорема 2.Если - подгруппы группы , то их пересечение

тоже подгруппа.

Доказательство. Если , то всем .

Но каждая подгруппа, так что (всем), а значит, их пересечению. Кроме того, для всех номеров , а значит, тоже . В итоге, подгруппа. □

Пример. Подгруппы и , а их пересечение - все числа, кратные 6.

Пример. Группа подстановок называется симметрической группой степени n. Число элементов

1) Ассоциативность есть.

, , .

а затем переходит в , в итоге .

С другой стороны, а в результате композиции 2-й и 3-й подстановок, в итоге опять .

2) Нейтральный элемент .

3) Обратный элемент.

Если то обратный , где в верхней строке все n разных чисел и их можно расставить по порядку.

Пример.Подгруппа - группа всех чётных подстановок. Кол-во элементов .

Пример. Подмножество всех нечётных подстановок - не образует подгруппу, потому что: произведение подстановки и обратной к ней (обе нечётные) это тождественная подстановка, а она содержит 0 инверсий, значит - чётная, но тогда она не принадлежит этому подмножеству.

Пример. Группы движений и симметрий правильных n-угольников.

Например, для треугольника. Каждый поворот или зеркальное отражение, при котором 3 вершины переходят в какие-то другие, соответствует подстановке.

вращения

зеркальные отражения

Но при этом можно заметить, что всякое отражение может быть получено как композиция какого-то одного базового отражения (например, где меняются вершины 1 и 2) и поворота.

называется группой Диэдра. Для (в случае треугольника) она совпадает с группой всех подстановок,

Для , уже .

Кольца

Теперь рассмотрим множества не с одной, а с двумя различными операциями. Интуитивно вам уже известны такие примеры: сложение и умножение на множестве чисел, к тому же, для них известен закон дистирибутивности: , .

Определение. Пусть - множество, на котором заданы две бинарные операции (как правило, сложение и умножение), удовлетворяющие условиям:

1) абелева группа

2) полугруппа (т.е. только ассоциативность)

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности: , .

Тогда называется кольцом.

Если существует нейтральный элемент по умножению, то кольцо называется кольцом с единицей. Если операция умножения коммутативна, то называется «коммутативное кольцо».

Примеры.

1)Числовые кольца. , , коммутативные кольца с единицей.

2) Кольцо функций. Функции, заданные на , можно поточечно складывать и умножать.

, .

по сложению - тождественно нулевая функция .

По сложению есть противоположный элемент.

по умножению - тождественная .

3) Множество векторов в 3-мерном пространстве относительно операции векторного умножения. Это пример некоммутативного кольца, и без единицы.

Лемма.

1. При умножении любого элемента на по сложению получится . То есть, .

2. Произведение 1-го элемента на противоположный ко 2-му это то же самое, что произведение противоположного 1-му на 2-й, и равно противоположному к их суммарному произведению, т.е. .

Доказательство.

1. = , вычтем из обеих частей равенства, получим .

2. = =

.