Определение перемещений и напряжений при ударе

Рассмотримслучай продольного удара груза по неподвижному телу. Пусть груз весом G падает с высоты h на неподвижный стержень (рис. 10.3 а). Скорость тела в момент удара определяется по известной формуле свободного падения V =(2gh)^0,5. Эта скорость за очень короткий промежуток времени удара, исчисляемый тысячными или сотыми долями секунды, упадет до нуля. Благодаря большому ускорению (замедлению) возникает значительная сила инерции, которая определяет действие удара.

Однако теоретически трудно установить закон изменения скорости, а следовательно, и силу инерции. Здесь применяется другой путь, основанный на приближенном использовании закона сохранения энергии и на следующих допущениях:

1) Напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности, так что закон Гука при ударе сохраняет свою силу;

2) Тела после удара не отделяются друг от друга;

3) Масса ударяемого стержня считается малой по сравнению с массой ударяющего тела, поэтому в расчет не принимается;

a) б)

Рис. 10.3.

4) Потерей части энергии, перешедшей в теплоту и в энергию колебательного движения соударяющихся тел, пренебрегаем. Приравняем работу падающего груза потенциальной энергии деформации стержня. Работа, совершаемая весом падающего груза,

(10.5)

где - перемещение в точке удара, равное укорочению стержня. Потенциальная энергия деформации при сжатии

(10.6)

Из этих двух уравнений получаем

(10.7)

или

(10.8)

Разделив все члены этого уравнения на ЕА, получим

(10.9)

Но -укорочение стержня от статически приложенной нагрузки G.

Тогда

(10.10)

Решив это квадратное уравнение относительно , получим

(10.11)

Оставляя знак плюс (так как ), получаем окончательно

(10.13)

где K_d - динамический коэффициент.

Разделив обе части последнего уравнения на длину стержня и умножив на модуль упругости Е, перейдем на основании закона Гука от деформаций к напряжениям:

(10.14)

Из этих формул видно, что динамические напряжения и перемещения зависят от статической деформации ударяемого тела. Чем больше статическая деформация (при прочих равных условиях), тем меньше динамические напряжения.

Вот почему для смягчения удара применяют прокладки (резиновые, пружинные), дающие большие деформации.

При сжимающем ударе во избежание продольного изгиба динамические напряжения не должны превосходить критических напряжений Аналогичный вид имеют формулы и для случая поперечного (изгибающего) удара, только в этом случае вместо следует принимать статический прогиб, балки в месте удара - , а вместо - динамический прогиб - (рис. 10.3 б).

Частные случаи

1. Если h = 0, т. е. имеет местовнезапное приложение нагрузки, то из формул (10.12) и (10.13) получим . При внезапном приложении нагрузки деформации и напряжения вдвое больше, чем при статическом действии той же нагрузки.

2. Если высота падения h значительно больше статической деформации то для определения динамического коэффициента получим следующую приближенную формулу:

(10.15)

Пример. На стальную двутавровую балку № 27а пролетом 3 м падает посередине пролета груз G = 1 кН с высотой h = 10 cм = 0,1 м. Момент инерции сечения = 5500×10^-8 м⁴, момент сопротивления W_х=407×10^{-6 м3} (из таблиц сортамента); Е=2×10⁵ MПa.

Определить наибольший прогиб балки и максимальные напряжения в ее поперечном сечении.

Решение. Вычисляем статический прогиб балки под грузом

. (10.16)

Динамический коэффициент

(10.17)

В данном случае динамический эффект падающего груза в 64 раза превосходит его статический эффект.

Вычисляем статическое напряжение от груза G. Наибольший изгибающий момент будет в среднем сечении балки:

Наибольшее статическое напряжение

.

Наибольшее динамическое напряжение

Из этого примера видно, насколько опасными по своему действию являются динамические нагрузки. К этому добавляется еще и то обстоятельство, что допускаемые напряжения при ударе принимают более низкими, чем при действии статических нагрузок.