Сглаживание динамических рядов методом наименьших квадратов (МНК)

Использование метода скользящей средней позволяют сделать следующий вывод: чем продолжительней интервал сглаживания, тем сильнее усреднение, а поэтому выявляемая тенденция развития получается более плавной.

Изучение основной тенденции развития методом скользящей средней является лишь эмпирическим приемом анализа.

Рассмотренный приём сглаживания динамических рядов может рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других, более строгих методов выявления тенденции.

Для того, чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней (значений) динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

В этом случае фактические уровни заменяются уровнями (значениями), вычисленными на основе определенной кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция от времени ŷt=f(t), где ŷ – уровни (значения) динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Ниже приводятся различные виды трендовых моделей, наиболее часто используемые для аналитического выравнивания.

Название функции Описание функции
1. Линейная ŷt =bo+b1t
2. Парабола второго порядка ŷt =bo+b1t+b2t2
3. Кубическая парабола ŷt =bo+b1t+b2t2+b3t3
4. Показательная ŷt = bob1t
5. Экспоненциальная ŷt = boeb1t
6. Модифицированная экспонента ŷt = bo+ b1b2t
7. Кривая Гомперца ŷt = bob1b2t
8. Логистическая кривая ŷt =bo/(1+e-b2t)
9. Логарифмическая парабола ŷt = bob1t b2t2
10. Гиперболическая ŷt= bo+b1*1/t

Выбор формы кривой во многом определяет результат экстраполяции тренда.

Основанием для выбора вида кривой может служить содержательный анализ сущности развития данного явления.

На практике для этих целей прибегают к анализу графического изображения динамического ряда (линейной диаграммы). Однако из графического представления эмпирических данных не всегда удается произвести однозначный выбор формы уравнения. Поэтому целесообразно воспользоваться графическим изображением сглаженных уравнений (значений), в которых случайные и волнообразные колебания в некоторой степени оказываются погашенными (сглаживание рядов 3х,5ти,11ти летними скользящими средними).

При выборе формы уравнения следует исходить из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение тренда, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.

Выбор формы кривой может осуществляться и на основе принятого критерия, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений от значений, рассчитанных по уравнению тренда. Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия, т.е ((у1- ŷ1)2+(у2- ŷ2)2+…+(уn- ŷn)2)=0→ min

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, т.е. аналитическое уравнение вида ŷt =bo+b1t, где t – порядковый номер периодов или моментов времени.

Параметры bo и b1 прямой рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК). Система нормальных уравнений имеет вид:

Σ1n уi= bon+ b1Σ1nti

 

Σ1n уiti= b0Σ1nti+ b1Σ1nti2

Поиск параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю (Σ1nti=0). При нечетном числе уровней (значений) ряда динамики для получения Σ1nti=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение).

Даты времени, стоящего выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1,-2, -3 и так далее), а ниже – натуральными числами со знаком плюс (+1,+2,+3 и так далее).

Если число уровней динамического ряда четное, периоды времени верхней половины ряда (до середины) нумеруются –1,-3,-5 и т.д., а нижней +1,+3,+4 и т.д.

При этом условии Σ1nti будет равна нулю и система нормальных уравнений примет вид:

Σ1n уi= bon

 

Σ1n уiti= b1Σ1nti2

Откуда bo= Σ1n уi/n

b1= Σ1n уiti/ Σ1nti2

Пример

Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой ряда динамики строительства жилья жилищно-строительными кооперативами в России (см. данные табл1)

Таблица 1

Годы Всего построено (млн.кв.м) жилищно-строительными кооперативами
2,9
2,4
2,1
1,9
1,8

Расчет параметров уравнения представлен в табл.2

 

Таблица 2

Годы Построено жилищно-строительными кооперативами (млн.кв.м), уi Условные обозначения периодов, ti   уiti   ti2 Выровненные уровни ряда динамики млн.кв.м, ŷt   уit   (уit)2  
2,9 2,4 2,1 1,9 1,8 -2 -1 +1 +2 -5,8 -2,4 1,9 1,68 2,67 2,49 2,22 1,95 1,68 0,14 -0,09 -0,12 -0,05 0,12 0,0196 0,0081 0,0144 0,0025 0,0144
Итого 11,1   -2,7 11,10 0,00 0,0590

Используя итоги граф 2,4,5, определим параметры уравнения прямой:

bo=11,1/5=2,22 b1=-2,7/10 = -0,27

По рассчитанным параметрам записываем уравнение прямой ряда динамики, характеризующего строительство жилья ЖСК.

ŷt=2,22-0,27t

Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого года теоретические значения:

Для 1990г: ŷt=-2=2,22-0,27*(-2) = 2,76 млн.кв.м

1991г: ŷt=-1=2,22-0,27*(-1)= 2,49 млн.кв.м

Примечание: правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного ряда, т.е. Σ1n уi= Σ1n ŷt (см. итоги гр.2 и 6).

 

 

 
 

 

 


Для выравнивания так же может использоваться парабола второго порядка:

ŷt =bo+b1t+b2t2

Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения (при соблюдения принципа отчета от условного начала) будет иметь вид:

Σ1n уi= bon+ b2Σ1nti2

Σ1n уiti= b1Σ1nti2

 

Σ1nti2= b0Σ1nti2+ b2Σ1nti4

Расчет параметров этого уравнения тренда представлен в таблице (предыдущий пример).

Годы уi ti ti2 уiti уiti2 ti4 ŷi уit
2,9 2,4 2,1 1,9 1,8 -2 -1 +1 +2 -5,8 -2,4 1,9 1,68 11,6 2,4 1,9 7,2 2,889 2,426 2,091 1,886 1,809 +0,011 -0,026 +0,009 0,014 -0,009
Итого 11,1   -2,7 23,1 11,10 0,00

Подставляя итоги гр.2,4,5, и 7 таблицы получаем следующую систему уравнений для данного временного ряда:

5b0+10b2=11,1

10b1=-2,7

10b0+34b2=23,1

 

Решая систему уравнений, определим значения параметров уравнение параболы второго порядка.

b0=2,0914; b1=-0,27; b2=0,0643

Отсюда уравнение параболы второго порядка, характеризующего тенденцию строительства жилья ЖСК, будет записано так:

ŷ=2,0914-0,27t+0,0643 ti2

 

ТЕМА 3.






Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2480; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2021 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.014 сек.