Метод прогнозной экстраполяции

Экстраполяционные методы являются одними из самых распространенных и наиболее разработанных среди всей совокупности методов прогнозирования. В общем случае для экстраполяции необходимо иметь временной ряд, где каждому значению независимой переменной (в качестве которой выступает время) соответствует определенное значение прогнозируемою показателя. При формировании прогнозов с помощью экстраполяции обычно исходят из статистически складывающихся тенденций изменения тех или иных количественных характеристик объекта.

Следует отметить, что, поскольку метод разработан для анализа временных рядов, состоящих из большого числа наблюдений, а временные ряды в отраслевом прогнозировании, как правило, невелики, прогноз, сделан­ный с помощью этого метода, может не отразить некоторых существенных изменений.

Прогнозную экстраполяцию можно разбить на два этапа.

Выбор оптимального вида функции, описывающей ретроспективный ряд данных. Выбору математической функции для описания тренда предшествует преобразование исходных данных с использованием сглаживания и аналитического выравнивания динамического ряда. Расчет коэффициентов функции, выбранной для экстраполяции.

При разработке моделей прогнозирования тренд оказывается основной составляющей прогнозируемого временного ряда, на которую уже накладываются другие составляющие. Результат при этом связывается исключительно с ходом времени. Предполагается, что через время можно выразить влияние всех основных факторов. В статистической литературе под тенденцией развития понимают некоторое его общее направление, долговременную эволюцию. Обычно тенденцию стремятся представить в виде более или менее гладкой траектории.

Для оценки коэффициентов чаще остальных используется метод наименьших квадратов (МНК). Его сущность состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми величинами и соответствующими оценками (расчетными величинами), вычисленными по подобранному уравнению связи.

(1.1)

где – расчетные значения тренда;

y – фактические значения ретроспективного ряда;

n – число наблюдений.

Этот метод лучше других соответствует идее усреднения как единичного влияния учтенных факторов, так и общего влияния неучтенных.

Операцию экстраполяции в общем виде можно представить в виде определения значения функции

(1.2)
где - экстраполируемое значение уровня;

L – период упреждения;

- уровень, принятый за базу экстраполяции.

Экстраполяция на основе средней.

В самом простом случае при предположении о том, что средний уровень ряда не имеет тенденции и к изменению или если это изменение незначительно, можно принять т. е. прогнозируемый уровень равен среднему значению уровней в прошлом. Доверительные границы для средней при небольшом числе наблюдений определяются следующим образом:

(1.3)
где t_a – табличное значение t-статистики Стьюдента с n-1 степенями свободы и уровнем вероятности p;

– средняя квадратическая ошибка средней.

Значение ее определяется по формуле . В свою очередь, среднее квадратическое отклонение S для выборки равно

(1.4)

Доверительный интервал, полученный как , учитывает неопре­деленность, которая связана с оценкой средней величины. Общая дисперсия составит величину . Таким образом, доверительные интервалы для прогностической оценки равны

(1.5)

Недостаток рассмотренного подхода заключается в том, что доверительный интервал не связан с периодом упреждения.

Экстраполяция по скользящей и экспоненциальной средней.

Для краткосрочного прогнозирования наряду с другими приемами могут быть применены адаптивная или экспоненциальная скользящие средние. Если прогнозирование ведется на один шаг вперед, то или , где М_i - адаптивная скользящая средняя; Q_i - экспоненциальная средняя. Здесь доверительный интервал для скользящей средней можно определить аналогично тому, как это было сделано в формуле (1.5), в которой число наблюдений обозначено символом n. Поскольку при расчете скользящей средней через m обозначалось число членов ряда, участвующих в расчете средней, то заменим в этой формуле n на m. Так как m обычно берется равной нечетным числам, то подсчи­таем для них соответствующие значения величины . Что касается экспоненциального сглаживания, то, так как дисперсия экспо­ненциальной средней равна , где S₂ - среднее квадратическое отклонение, вместо величины в формуле, приведенной выше, при исчислении доверительного интервала прогноза следует взять величину или . Здесь — коэффициент экспоненциального сглаживания.

Корреляционный анализ используют для выявления и оценки связи между различными показателями. Степень тесноты связи оценивают коэффициентами, изменяющимися в пределах от 0 до 1, по следующей формуле:

(1.6)

Малое значение коэффициента свидетельствует о слабой связи, значение, близкое к 1, характеризует очень сильную связь и часто позволяет предположить наличие функциональной причинно-следственной связи. Затем проверяют значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента t_j,k:

(1.7)
где k=n-2 – число степеней свободы.

При выполнении неравенства t*>y_j,k гипотеза о не значимости коэффициента парной корреляции отвергается, т.е. y_t зависит от фактора времени. Затем выбирают математическую модель взаимосвязи показателя от времени и рассчитывают критерии точности полученной модели.

(1.8)

(1.9)

(1.10)
где – средняя относительная ошибка;

– корреляционные отношения;

S₂ – остаточная дисперсия;

– среднеквадратическое отклонение, рассчитанное по формуле:

(1.11)
где p- количество расчетных коэффициентов уравнения тренда.

Затем делают расчет точечной и интервальной оценки прогноза:

(1.12)

(1.13)
где y_n+1 – прогнозируемая величина.

С помощью этих методов экстраполируются количественные пара­метры больших систем, количественные характеристики экономического, научного, производственного потенциала, данные о результативности научно-технического прогресса, характеристики соотношения отдельных подсистем, блоков, элементов в системе показателей сложных систем и др .

Анализ показывает, что ни один из существующих методов не может дать достаточной точности прогнозов на 20—25 лет. Применяемый в прогнозировании метод экстраполяции не дает точных результатов на длительный срок прогноза, потому что данный метод исходит из прошлого и настоящего, и тем самым погрешность накапливается. Этот метод дает положительные результаты на ближайшую перспек­тиву прогнозирования тех или иных объектов — на 5—7 лет.

При экстраполяции часто используются линейные модели. Они требуют относительно небольшого количества вычислений и по тому, в частности, широко распространены в прак­тике прогнозирования. Их недостаток, заключающийся в том, что лишь немногие явления в экономике могут быть адекватно описаны в линейном виде, отчасти преодолевается с помощью кусочно-линейной аппроксимации.

2.2.Сглаживание статистических рядов методом скользящих средних

Одной из задач, возникающих при анализе рядов динамики, является установление закономерности изменения уровней изучаемого показателя во времени.

В некоторых случаях эта закономерность, общая тенденция развития объекта вполне ясно отображается значениями (уровнями) динамического ряда.

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и можно говорить лишь об общей тенденции развития явления, либо о тенденции к росту, либо к снижению.

В этих случаях для определения основной тенденции развития явления, достаточно устойчивой на протяжении данного периода, используют особые приемы обработки рядов динамики.

Уровни (значения) ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов и в том числе различного рода случайных обстоятельств.

Выявление основной закономерности изменения уровней ряда предполагает её количественное выражение, в некоторой мере свободное от случайных воздействий.

Выявление основной тенденции развития (тренда) называется выравниванием временного ряда, а методы выявления основной тенденции – методами выравнивания.

Выравнивание позволяет характеризовать особенность изменения во времени данного динамического ряда в наиболее общем виде как функцию времени, предполагая, что через время можно выразить влияние всех основных факторов.

Выявление основной тенденции может быть осуществлено методом скользящей средней.

Для определения скользящей средней формируем укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней (значений).

Каждый последующий интервал получаем, сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень.

Тогда первый интервал будет включать уровни (т.е. значения) у₁, у₂, …у_m; второй – у₂, у₃, …у_m+1 и так далее.

Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом равным единице.

По сформированным интервалам определяем сумму значений, на основе которых рассчитываются скользящие средние.

Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. Поэтому при сглаживании скользящей средней технически удобнее укрупненный интервал составлять из нечетного числа уровней ряда.

Нахождение скользящей средней по четному числу уровней создает неудобство, вызываемое тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. В этом случае необходима дополнительная процедура центрирования средних.

Алгоритм сглаживания кривой (3, 5, 11 летние скользящие средние) у₁…у_n

1. 3-х летняя скользящая средняя

ŷ₁=(у₁+у₂+у₃)/3; ŷ₂=(у₂+у₃+у₄)/3; ŷ_n-2=(у_n-2+у_n-1+у_n)/3

2. 5-ти летняя скользящая средняя

ŷ₁=(у₁+у₂+у₃+у₄+у₅)/5 и так далее

3. 11-ти летняя скользящая средняя

ŷ₁=(у₁+у₂+…+у₁₁)/11 и так далее

Таблица 1. Динамика изменения курса иностранной валюты (по дням)

Скользящая средняя, рассчитанная по 3х дневным скользящим суммам, будет отнесена ко второму уровню каждого 3х уровневого интервала, по 5-ти уровневому интервалу – отнесена к 3 уровню.

В случае, когда выбор интервала сглаживания осуществляется произвольно, нужно учитывать количество уровней в анализируемом ряду динамики, так как при использовании приема скользящей средней сглаженный ряд сокращается по сравнению с исходным рядом на число уровней,равное (m-1).