Задание № 4. Исследование следящей РАС

1. Изучить принцип действия и кратко описать заданную РАС (табл. 4.1), зарисовать ее функциональную схему.

2. Описать динамические звенья САУ: дискриминатор, регулятор, объект управления и т. д. Привести их типовые математические модели.

3. Преобразовать исходную структурную схему следящей системы к обобщенному виду (рис. 4.2), содержащему безынерционный линейный дискриминатор с сумматором шума на выходе и приведенный фильтр, охваченные единичной обратной связью.

4. Составить ПФ разомкнутой системы по данным таблиц 4.1 и 4.2.

5. Записать ПФ замкнутой системы относительно выходного процесса y(t) (K_λy(ω), K_ξy(ω)) и ошибки x(t) (K_λx(ω), K_ξx(ω)).

6. Построить логарифмические АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы и определить с их помощью запасы устойчивости.

7. Определить устойчивость замкнутой системы и запасы устойчивости, пользуясь заданным критерием (табл. 4.2).

8. Построить АЧХ замкнутой системы K_λy(ω) и ПХ h_λy(t). Определить по частотным (включая ЛАЧХ и ЛФЧХ) и временным характеристикам косвенные и прямые параметры качества переходного процесса.

9. Выяснить зависимость времени регулирования Т_р от заданного параметра вариации (Параметр вариации в табл. 4.1). Построить график зависимости Т_р от этого параметра, определив экстремум функции. При этом добиться того, чтобы ПХ изменяла свой характер (например, от колебательного до апериодического).

10. Определить средний квадрат ошибки слежения и среднеквадратическую ошибку (СКО) в стационарном режиме при одновременном воздействии λ(t) и ξ(t). Принять, что шумы ξ(t), приведенные к выходу дискриминатора, представляют собой белый шум с указанной спектральной плотностью мощности (N(0), D₀/…).

11. Вывести аналитическое выражение эквивалентной шумовой полосы (прил. 4, табл. П.4.1), выраженной в параметрах приведенного фильтра. Найти численно и графически (по характеристике квадрата модуля главной частотной ПФ замкнутой системы К_λy²(ω)) ширину эквивалентной шумовой полосы.

12. Провести оптимизацию параметров фильтра по критерию минимума СКО. Определить, как это отразится на быстродействии РАС.

Если РАС при заданных параметрах окажется неработоспособной, следует изменить параметры или схему корректирующего устройства после соответствующего обоснования.

Таблица 4.1

Таблица 4.2

№	Т0, с	Т1, с	Т2,с	Т3,с	S	Размер-ность	kф	kр	vф	vр	Критерий устойчивости
	0,05	0,5		0,03	1,7	В/°		0,6		–	Гурвица
		0,04		0,02	0,5	В/рад			–		Михайлова
		0,05	0,016	0,07		В/кГц	0,5		–	–	Найквиста
	0,12			0,08	1,4	В/°					Михайлова
		0,02		0,12		В/рад	0,7		–		Гурвица
		0,012	0,005	0,002	0,1	В/кГц			–	–	Гурвица
	0,1	0,09		0,003		В/рад	0,6		–		Михайлова
	0,01			0,002		В/рад	0,9				Найквиста
		0,12		0,04		В/мкс		0,1		–	Найквиста
	0,02	0,7		0,005		В/рад	0,7	0,5	–		Михайлова
		0,009		0,003		В/°		0,1		–	Михайлова
	0,07			0,01		В/мкс					Гурвица
		0,8		0,09	0,5	В/мкс		0,1	–		Найквиста
	0,04	0,2		0,01	6,25	В/мкс				–	Михайлова
		0,4	0,08	0,015	0,65	В/кГц	0,8		–	–	Найквиста
	0,02			0,008		В/°		0,6	–		Найквиста
		0,0006	0,0001	0,0006	0,25	В/кГц	0,1		–	–	Михайлова
	0,02			0,006	0,8	В/мкс				–	Михайлова
	0,03			0,01		В/°		0,2			Найквиста
		0,018	0,003	0,001		В/кГц			–	–	Гурвица
	0,05	0,3		0,03	1,67	В/°		0,6		–	Гурвица
		0,01		0,02	0,5	В/рад			–		Михайлова
		0,05	0,01	0,007		В/кГц	0,5		–	–	Найквиста
	0,12			0,08	0,4	В/°					Михайлова
		0,02		0,12		В/рад	0,8		–		Гурвица
		0,0012	0,005	0,002	0,1	В/кГц			–	–	Гурвица
	0,1	0,09		0,003		В/рад	0,7		–		Михайлова
	0,008			0,002		В/рад	0,9				Найквиста
		0,12		0,04		В/мкс		0,2		–	Найквиста
	0,02	0,7		0,005		В/рад	0,7	0,5	–		Михайлова
		0,009		0,003		В/°		0,1		–	Михайлова
	0,07			0,01		В/мкс					Гурвица
		0,8		0,09	0,5	В/мкс		0,3	–		Найквиста
	0,04	0,2		0,01	6,25	В/мкс				–	Михайлова
		0,4	0,08	0,015	0,625	В/кГц	0,8		–	–	Найквиста
	0,02			0,008		В/°		0,1	–		Найквиста
		0,0006	0,0001	0,0006	0,25	В/кГц	0,1		–	–	Михайлова
	0,02			0,006	0,8	В/мкс				–	Михайлова
	0,03			0,01		В/°		0,2			Найквиста
		0,018	0,003	0,001		В/кГц			–	–	Гурвица
	0,05	0,5		0,03	1,67	В/°		0,6		–	Гурвица
		0,04		0,02	0,5	В/рад			–		Михайлова
		0,05	0,016	0,007		В/кГц	0,5		–	–	Найквиста
	0,12			0,08	0,4	В/°					Михайлова
		0,02		0,12		В/рад	0,8		–		Гурвица
		0,012	0,0005	0,002	0,1	В/кГц			–	–	Гурвица
	0,1	0,09		0,003		В/рад	0,7		–		Михайлова
	0,08			0,02		В/рад	0,9				Найквиста
		0,12		0,04		В/мкс		0,1		–	Найквиста
	0,02	0,7		0,05		В/рад	0,7	0,5	–		Михайлова

Задачи

1.С помощью критерия Михайлова оценить устойчивость системы, ПФ которой в разомкнутом состоянии имеет вид .

2.Построить асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ для системы с операторным коэффициентом передачи , где k = 200; Т₁ = 1 мс; Т₂ = 500 мкс; Т₃ = 100 мкс.

3.Найти решение уравнения работы ФАП pφ(t) + Ω_уΚ(р) F(φ(t)) = Ω_н при ; и начальных условиях φ(t₀) = φ₀; φ(t₀) = 0.

4.Найти решение уравнения работы ФАП pφ(t) + Ω_уΚ(р) F(φ(t)) = Ω_н при ; и начальных условиях φ(t₀) = φ₀; φ(t₀) = 0,1φ₀ .

5.ПФ разомкнутой системы . Найти ошибку в замкнутой системе при управляющем воздействии .

6.С помощью критерия устойчивости Найквиста оценить устойчивость системы, ПФ которой в разомкнутом состоянии .

7.Определить первые два коэффициента ошибок для системы, ПФ которой в разомкнутом состоянии .

8. Оценить устойчивость системы, ПФ которой в замкнутом состоянии имеет вид . Для оценки использовать критерий Гурвица.

9. Для системы, ПФ которой в разомкнутом состоянии , определить запасы устойчивости по усилению и фазе.

10. Оценить устойчивость системы в замкнутом состоянии, если в разом-кнутом состоянии её коэффициент передачи равен . Для оценки использовать критерий Найквиста.

11. С помощью асимптотических частотных характеристик определить запас устойчивости в системе, ПФ которой в разомкнутом состоянии имеет вид .

12. ПФ разомкнутой системы . Вычислить ошибку в замкнутой системе при входном воздействии . Какова ошибка в установившемся режиме?

13. Построить годограф системы, для которой , где k = 50; Т₁ = 0,2 с; Т₂ = 0,5 с; Т₃ = 0,4 с.

14. С помощью критерия Михайлова оценить устойчивость системы, ПФ которой в замкнутом состоянии имеет вид .

15. . Построить g(t) для разомкнутой и замкнутой систем.

16. . Построить h(t) для разомкнутой и замкнутой систем.

17. . Построить g(t) для разомкнутой и замкнутой систем.

18. . Построить h(t) для разомкнутой и замкнутой РАС.

19. Для какого динамического звена характерна данная зависимость? Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ этого звена.

20. Оценить вид ПХ для звена с ПФ .

21.
λ (t) = (200 + 40t)×1(t). Найти X_{уст .}

22. Апериодическое звено с k₀ =20, T₀ =0,1 c охвачено гибкой отрицательной обратной связью с k_ОС =0,09. Определить коэффициент передачи и постоянную времени эквивалентного апериодического звена.

23. Оценить устойчивость в замкнутом и разомкнутом состояниях. Оценить Y (∞).

24. . Построить h(t) для разомкнутой и замкнутой систем.

25. . Построить h(t) для разомкнутой и замкнутой РАС.

26. Апериодическое звено с k₀ =20, T₀ =0,1 c охвачено жесткой отрицательной обратной связью с k_ОС =0,09. Определить коэффициент передачи и постоянную времени эквивалентного апериодического звена.

27. . Построить h(t) для разомкнутой и замкнутой РАС.

28. . Построить h(t) для разомкнутой и замкнутой систем.

29. ПФ разомкнутой системы . Вычислить ошибку в замкнутой системе при входном воздействии . Какова ошибка в установившемся режиме?

30. Оценить вид ПХ для звена с ПФ .

31. ПФ разомкнутой системы . Вычислить ошибку в замкнутой системе при входном воздействии . Найти ошибку в установившемся режиме.

32. ПФ разомкнутой системы . Вычислить ошибку в замкнутой системе при входном воздействии . Какова ошибка в установившемся режиме?

33.
λ (t) = (20 + 4t)×1(t). Найти X_{уст .}

34. Указать величину наклона ЛАЧХ для РАС с ПФ на частоте w = 300 рад/с.

35. Определить j(w) при w = 30 рад/с для РАС с ПФ .

36.
Найти запасы устойчивости системы,

если , .

37. Для РАС из задачи № 32 записать ПФ по возмущению, по входному воздействию и по ошибке.

38. Для РАС из задачи № 32 определить величину выходного воздействия, если λ (t) = (20 + 4t)×1(t), а ξ(t) = 10.

39. Апериодическое звено с k₀ = 10, T₀ = 0,5 c охвачено жесткой положи-тельной обратной связью с k_ОС = 0,1. Определить коэффициент передачи и постоянную времени эквивалентного апериодического звена.

40. Апериодическое звено с k₀ = 10, T₀ = 0,5 c охвачено гибкой положи-тельной обратной связью с k_ОС = 0,1. Определить коэффициент передачи и постоянную времени эквивалентного апериодического звена.

5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММЫ «MATHCAD»
ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Общение пользователя с «MathCad» происходит на математически ориентированном языке визуального программирования, который настолько приближен к обычному математическому языку описания вычислительных задач, что практически не требует специального освоения. Многие математические записи на этом языке производятся выводом на экран соответствующих шаблонов операторов и функций. Простейшие знаки основных операций можно набирать и с клавиатуры.

Для получения справки в «MathCad» в меню есть пункт «Help(?)». При выборе этой команды на экране появляется окно интерактивной справки. Этот же результат можно получить быстрее, нажав клавишу «F1». Контекстно-зависимую справку можно получить, поместив указатель мыши на нужный элемент документа или меню «MathCad». Если поместить указатель на кнопку панели инструментов, то через некоторое время появится окно с названием кнопки, а на строке состояния (так же, как и при выборе элемента меню) появится поясняющий текст.

Команда «Resource Center»меню «Help(?)» открывает доступ к огромной библиотеке систематизированных ресурсов «MathCad».

Команда «Open Book» («Открыть справочник») открывает электронный справочник, с помощью которого можно составить представление о возможностях «MathCad» [18–23].

Для создания нового документа «MathCad» надо выбрать команду «New» («Новый») из меню «File» («Файл») (комбинация клавиш Ctrl+N).

Курсор-крестик может быть преобразован в рамку для текста нажатием клавиши «"». При этом будет открыта окруженная черной рамкой текстовая область, которая останется открытой до тех пор, пока курсор щелчком мыши не будет перемещен на свободный участок документа. В текстовой области курсор имеет вид вертикальной черты. После создания области текста можно ввести заголовок. По умолчанию он будет представлен шрифтом «Arial». Если вводится текст без создания текстовой области, для «MathCad» это означает, что вводится формула (шрифт «Times New Roman»). Для устранения подобной ошибки достаточно нажать клавишу пробела, чтобы «MathCad» преобразовал формулу в текст. Преобразование в обратном направлении невозможно.

Набор формул начинается с места, указываемого визиром (красным крестиком), положение которого определяется щелчком левой кнопки «мыши». В области формулы визир превращается в синий уголок, указывающий место ввода, а в текстовой области, которую можно ввести в документ командами главного меню («Вставка» – «Текстовая область»), визир превращается в вертикальную линию (маркер ввода). Управление визиром осуществляется как мышью, так и стрелками клавиатуры.

Для ввода формулы устанавливаем визир в место ввода и вводим определенную последовательность символов, например: «а:1».

«MathCad» автоматически преобразует этот текст в формулу – определение переменной: « » (a = 1). «MathCad» различает прописные и строчные символы, поэтому переменные х и Х различаются между собой.

Переменные в языке «MathCad» задаются идентификаторами, которые могут быть любой длины, содержать латинские, греческие буквы и цифры, но при этом должны начинаться с буквы и быть слитными.

При работе с переменными часто используется операция присвоения. Для этого на экране используется знак «:=» (например, «С1:=2.3» соответствует присвоению переменной С₁ значения 2,3), вводимый Shift + «двоеточие» с клавиатуры. Знак «равенство» на клавиатуре используется для вычисления переменной. Таким образом, для вычисления выражения необходимо сначала присвоить значения всем его переменным, затем присвоить какой-то переменной само выражение, набрав его после знака присваивания. Тогда для вычисления значения переменной достаточно набрать с клавиатуры эту букву и знак равенства.

Для набора специальных операций (знак корня или степени) используется панель арифметических операторов.

Введем интервал изменения переменной х от – Х (начальное значение) до Х (конечное значение) с шагом 0,02 : «х:-Х,-Х+.02;Х».

Введенный текст будет преобразован «MathCad»: точка с запятой будет преобразована в две точки, но при этом смысл определения вводимого интервала будет правильно интерпретирован «MathCad».

Теперь введем определение функции, например :

« ».

«MathCad» преобразует символ «*» («звездочка») в привычный знак умножения «·», а символ «/» («косая черта») сразу преобразуется в общепринятое обозначение дроби.

Каждое математическое выражение (график или текстовая область с комментариями) образует блоки. Они имеют невидимые прямоугольные границы, которые становятся видимыми, если выделить выражение (щелкнуть на выражении левой кнопкой «мыши»). Левой кнопкой «мыши» можно перемещать блоки.

Основной принцип работы «MathCad» – блоки выполняются строго поочередно с просмотром их слева направо и сверху вниз. В системе по умолчанию задан режим автоматического вычисления всех выражений по мере их ввода или после каждого редактирования документа. Стоит вывести визир за пределы выражения, как все результаты вычисленийобновляются. Это происходит быстро, но если вычисления занимают некоторое время, то используется специальное выделение вычисляемых в данный момент выражений – прямоугольником из зеленых линий.

При необходимости можно сделать невычисляемыми отдельные выражения документа. Для этого надо выделить выражение, затем в контекстно-зависимом меню, вызываемом правой кнопкой «мыши», использовать команду «Отменить вычисления». Невычисляемое выражение будет отмечено черным квадратом.

В качестве примера, рассмотрим некоторые этапы вычисления, характерные для задания № 2. Определим номиналы элементов схемы при f_рез = 84 Гц и z₀ = 0,45 и найдем характеристики для электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 5.1.

Найдем ПФ для данной схемы:

(5.1)

Приведем (5.1) к стандартному виду для колебательного звена

(5.2)

где , .

Определим номиналы элементов схемы :

, откуда ; . (5.3)

Имеем систему из двух уравнений с неизвестными L₁, C₁, R₁, R₂..

С помощью «MathCad» определим возможные значения L₁ и С₁.

С учетом значений ряда Е24 примем такие номиналы элементов:

С₁ =20 мФ, L₁ = 1/(4p²·84²·2·10^-4) = 18 мГн.

Резистор R₁ должен быть намного меньше сопротивления конденсатора С₁ (или L₁) на f_рез : R₁ << 1/(2p·f_рез·С₁) = 1/(2p·84·2·10^-4) = Z_C1 = 9,5 Ом.

На рисунке 5.2 приведена копия части экрана из «MathCad».

Примем R₁ = 2,0 Ом, тогда, решая (5.3), получим R₂ = 6,2 Ом.

(Для решения уравнений и систем уравнений удобно воспользоваться блоком функций «Given» – «Find»[18–23]).

Изменяя сопротивление R₁ или R₂ , можно регулировать z. Для удобства анализа построим график зависимости z от номинала R₂.

Построение графиков в «MathCad» осуществляется с помощью шаблонов, перечень которых содержится в меню «Вставка»–«Graph» («График»). Используем шаблон для построения двумерных графиков «Х-Y Plot». После вызова шаблона графика на экран необходимо ввести имя переменной по оси x и имена одной или нескольких переменных (разделенных запятыми) по оси y в соответствующие шаблоны – черные квадратики в средней части осей. В крайние черные квадратики осей вносятся значения пределов изменения переменных по осям. Если эти значения не введены, то в этом случае «MathCad» сам выберет пределы, исходя из максимальных значений отображаемых переменных. После щелчка «мышью» вне шаблона график будет построен. График является блоком «MathCad» и, как любой блок «MathCad», может переноситься по экрану и редактироваться. Кроме изменения размеров, редактирование графика можно осуществлять командами меню «Format» («Формат») – «Graph» («График»). Например, опция «Трассировка» позволяет точно определять значения x и y в любой точке графика, а опция «Zoom»позволяет выбрать любой фрагмент графика с помощью прямоугольника из пунктирных линий, а затем увеличить масштаб этого фрагмента графика.

Если какие-то ячейки оказались незаполненными (выделенными красным цветом), на экране появится сообщение об ошибке: «This expression is incomplete. You must fill in placeholders» («Это выражение неполное, необходимо заполнить поля»). Необходимо заполнить такие ячейки.

На рисунке 5.3. приведен график зависимости z (R₂), интересующая нас область изменения z – от 0 до 1,1.

По графику видим, что значению z = 0,45 соответствует R₂ = 6,16 Ом, ближайшим значением по ряду Е24 является номинал 6,2 Ом.

Построим графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ для R₂ = 6,2 Ом.

Для построения графиков необходимо присвоить значения всем переменным, а затем задать диапазон частот (f или ω). «Мнимую единицу» можно задать напрямую , а можно использовать встроенную «мнимую единицу» «MathCad». Рекомендуется вводить в графики не само выражение вычислений, а присваивать его какой-либо функции пользователя.

Например, при заданной функции W(iω) для построения АФХЧ (годографа) по осям координат (x и y) графика в соответствующие шаблоны вводим имена переменных и , которые получены с помощью встроенных функций, определяющих действительную (Re) и мнимую (Im) части ЧПФ.

Для построения АЧХ в шаблоны для осей графика необходимо внести mW(ω) (модуль ЧПФ: mW(ω) = │W(iω)│) по оси y и ω по оси x.

Аналогично для построения ФЧХ в шаблоны необходимо ввести по оси y fz(ω) ( ) и ω по оси x. При построении ФЧХ рекомендуется логически проверять полученный результат: из-за ограниченности области значений (±90°) функции arctg, применяемой для вычислений фазы, график может иметь разрывы, хотя обычно ФЧХ непрерывна.

На рисунке 5.4 приведена копия соответствующего поля экрана «MathCad».

На рисунке 5.5 приведены графики АЧХ, ФЧХ и АФХЧ (годограф).

Рекомендуется форматировать графики так, чтобы наиболее информативные участки попадали в центральную часть графика.

Для построения ЛАХЧ по оси y необходимо ввести , а для оси x через контекстное меню следует установить логарифмический масштаб только для этой оси.

Для ЛФЧХ логарифмический масштаб для оси x вводится аналогично, но по оси y остается линейный масштаб, как для ФЧХ.

На рисунке 5.6 приведены графики ЛАЧХ, ЛФЧХ. График aL(ω) показывает асимптотическую ЛАЧХ. По графикам видно, что АЧХ и ЛАЧХ при
z = 0,45 имеют резонансный выброс.

Широкие возможности для анализа предоставляют операторы символьных вычислений, которые встроены в «MathCad». Для их осуществления необходимо набрать выражение, над которым необходимо провести символьное преобразование без оператора присваивания. Далее «мышкой» или стрелками клавиатуры нужно установить визир (зеленый уголок) так, чтобы он охватывал все выражения справа. После чего из палитры математических операций выбираем необходимое действие из списка операторов символьной математики (помечена «черной шапочкой») и вводим в ее шаблон имя переменной, с которой и осуществляется операция. После щелчка левой кнопки «мыши» за пределами выделенного блока выполняется сама операция, и ее результат помещается после стрелки, являющейся на экране признаком проведения символьной операции.

Определим ПХ и ИХ с помощью символьного оператора обратного преобразования Лапласа из библиотеки «MathCad» – «invlaplace».

После выполнения «invlaplace»выражение, появившееся справа от стрелки, можно скопировать и присвоить новой функции, например h(t).

ИХ проще всего определяется как производная ПХ по времени, но ИХ можно найти и через «K(p) invlaplace, p».

На рисунке 5.8 приведены графики ПХ h(t) и ИХ g(t).

Для получения различных видов ПХ необходимо подобрать R₂ (R₁ не изменяем), это позволяет изменять определенные значения z, которые соответствуют ПХ апериодического, слабоколебательного и колебательного характера.

Воспользуемся графиком на рисунке 5.3.

Для ПХ апериодического характера z ≥ 1. Выберем R₂ = 20 Ом (z = 1,2).

ПХ слабоколебательного характера соответствует 0,707 ≤ z < 1, для z = 0,74 выбираем R₂ = 12 Ом.

Сильную колебательность ПХ звено проявляет при z < 0,707, этому соответствует номинал R₂ = 2 Ом (z = 0,21).

Для каждого случая построим АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ.

Для наглядности однотипные графики желательно выполнять вместе,
а масштабы и сетку по оси x для амплитудных, фазовых и временных характеристик выбирать одинаковыми.

На рисунке 5.9 приведены графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для всех рассмотренных выше случаев. Графики 1 построены при z = 1,2,